Zeigen Sie: f ist Isomorphismus. Definition: f(v1)= iw + 2w' + w'', f(v2)=iw', f(v3)= 2w+w'+iw'' …

Question

ich schreibe morgen meine erste LinA Klausur und rechne gerade ein paar Altklausuren durch. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Seien V und W zwei C-Vektorräume mit dim V=dim W = 3. Sei (v1,v2,v3) eine Basis von V und (w,w',w'') eine Basis von W. Die lineare Abbildung f: V => W sei gegeben durch:

f(v1)= iw + 2w' + w''     f(v2)=iw'     f(v3)= 2w+w'+iw''

Zeigen Sie: f ist ein Isomorphismus.

Ich weiß: Seien v1,v2,v3 eine Basis von V. Dann ist f genau dann ein Isomorphismus, wenn f(v1), f(v2), f(v3) eine Basis von W ist. Insbesondere ist dann auch W endlich erzeugt und es gilt dim V = dim W.

Offensichtlich gilt letzteres schon nach Voraussetzung: dim V = dim W = 3. Bleibt zu prüfen, ob f(vi) Basis von W ist. Und da hört es bei mir auf. Ich habe keine Ahnung, wie ich die Lineare Unabhängigkeit und das Erzeugendensystem beweisen soll. Könnt ihr helfen?

Answer 1

Es genügt, wenn du zeigst, dass die Bildvektoren 

f(v1)= iw + 2w' + w''     f(v2)=iw'     f(v3)= 2w+w'+iw''

linear unabhängig sind. Sie liegen ja trivialerweise in W. Und 3 linear unabhängie Vektoren in einem 3-dim. Raum bliden immer ein Erzeugendensystem, also eine Basis. 

Dazu kannst du z.B. die Abbildungsmatrix A betrachten. In ihren Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.

Daher A =             [in der Basis w, w', w'']

i            0          2
2           i          1
1           0         i

Det A = i^3 + 0 +0 - 2i - 0 - 0 = -i -2i = -3i ≠ 0. Also linear unabhängig. Daher Basis. qed