Rotationskörper einer Trapezfläche

Question

Ich habe als Angabe ein Trapez, dass um die Länge R von der x- Achse entfernt ist, um die es sich drehen soll.

Durch den gegebenen Winkel Alpha und die Längen a und b habe ich die Fläche berechnet. Wie kann ich nun das Volumen des Rotationskörpers berechnen?

Comments

Zu welchem Thema sollst du das rechnen?

Es handelt sich doch um einen (grossen) Kegelstumpf, aus dem ein kleinerer Kegelstumpf und ein kleiner Zylinder ausgeschnitten sind. 

1. Geometrie:

Dazu findest du in der Stereometrie bestimmt die richtigen Formeln. 

2. Analysis (Schule)

Falls du bereits integrieren kannst, genügen die Funktionsgleichungen aller begrenzenden Geraden und die entsprechende Formel für Rotationsintegrale.

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Ich kann schon integrieren. Heißt das, dass ich alle Geraden aufstellen muss?
Geraden aller vier Seitenlängen oder wie?

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3 Geraden genügen. Die vierte ist einfach eine Integrationsgrenze.

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Hach ich komm nicht ganz mit. Welche geraden stell ich auf und welche grenzen nehm ich im Integral?

Danke für deine Hilfe!

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Wähle das Koordinatansystem so, wie es für dich am einfachsten ist. x-Achse muss wegen der Formel, die du verwenden willst, die Symmetrieachse des Körpers sein. 
 Die horizontale Gerade ist einfach y=R.

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das heißt die y-Achse ist die strich-punktierte achse meiner zeichnung?
Ok, dann stell ich neben y=R noch die zwei schrägen geraden auf?
Und dann? welches integral nehme ich, wie setze ich die geraden ein und welche grenzen?

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es wäre wohl noch wichtig zu wissen, wie das Trapez insgesamt aussieht. Durch die 3 angegebenen Stücke a,b,α (und die Angabe, dass a und d die Parallelseiten sein sollen) ist es nämlich noch nicht komplett definiert. Soll es etwa ein gleichschenkliges Trapez sein? Falls dann noch (wie man angesichts der Zeichnung vermutet...) eine Schrägseite parallel und die andere orthogonal zur Rotationsachse stehen soll, müsste α=45° sein.

Für die Volumenberechnung fällt mir da die Guldinsche Regel ein: Das Volumen ist gleich dem Produkt aus Trapezfläche und dem Umfang der Kreisbahn, welche dessen Schwerpunkt bei einer Umdrehung um die Rotationsachse beschreibt. 

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gegegeben sind a,b und alpha.
Damit dürfte das Trapez eindeutig sein.
( beta = 90 - alpha usw )
Für das Volumen des Rotationsköpers
ist der Abstand R noch von Belang.
V ( R ).
Soll also das Volumen als Funktion von
a,b, alpha und R berechnet werden ?
mfg Georg

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Alpha beträgt nicht 45 grad.

Ja, das Volumen soll als Funktion con a, b alpha und R berechnet werden. Das sind Variablen, für die ich später verschiedene Werte einsetzen möchte. Das heißt, das sind eigentlich später bekannte Größen.

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Dann kümmere ich mich einmal darum. mfg Georg

Answer 1

mein Ansatz basiert darauf zunächst einmal die Volumina
des äußern und inneren Kegels herzuleiten.
(* Scherzmodus an *)
Um meine Prioritätsrechte zu wahren stelle ich meinen
Vorschlag schon einmal hier ein.
(* Scherzmodus aus *)

Die Geradengleichung für den äußeren Kegel
f _{(  r , a , α )} ( x )  = - tan ( α ) * x + a * sin ( α ) + r

Die Geradengleichung für den inneren Kegel
g _{(  r , a , α, b )} ( x ) = f _{(  r , a , α )} - b
g _{(  r , a , α , b )} ( x ) = - tan ( α ) * x + a * sin ( α ) + r - b

Über die Geradengleichung kann die Stammfunktion
S_f ( x ) = ∫ [ f ( x ) ]^2 * π dx
gebildet werden.
Ob man jetzt die Volumnina getrennt voneinander berechnet
oder die Differenzfunktion bildet und wie das Abzugsvolumen
für den Zylinder am besten berücksichtigt wird muß ich noch
ausarbeiten.
Falls du jede Menge dieser Körper zu berechnen hast, kann ich
dir auch ein kleines EDV-Progrämmchen ( DOS ) schreiben.

mfg Georg

Comments

Nein, ich hab nur das eine Beispiel.

Vielen

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Es gibt verschiedene Wege das Volumen auszurechnen
- ohne Integralrechnung, über die Kegelformel
   y-Achsenabschnitt = r des Kegels, Schnittpunkt mit der
  x-Achse = h.
- Berechnung als Kegelstumpf
usw.

  Ich verbleibe zunächst. Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

mfg Georg