Komplexe Zahlen: z² = (x+yi)

Question

 

Ich versuche aus z² = (x+yi)   => z=(a+bi) zu berechnen.

z²= x+yi = (a+bi)² = a² + 2abi + b²i² =  a²-b² + 2abi

_______

<=>
a²-b² = x

2abi = yi

_______

a²-b² = x

ab = y/2 <=> b= y/2a
_______

=> a² - (y/2a)² = x

_______

<=> a² - y²/4a² = x

_______

a²*a² - y²/4 = xa²
_______

<=>
a⁴ - xa² + y²/4 = 0
 

Substitution m=a² ergibt durch PQ Formel:

m_1/2 = -x/2 +- √ ( (x/2)² -  y²/4 )  

 

Resub.   mit  +m₁ = a² liefert a_1/2    (-m₂ = a²  nicht lösbar.)

b_1/2 = y/2a_1/2

 

Kann ich die letzten zwei Zeilen immer benutzen, oder gibt es Fälle, wo ich das nicht kann?

Ich würde in der Klausur z.B.

z² = 4 + 12i

m = -4/2 +- √ (4/2)² - 12/4 = -2 +- √4-3 = -2 +-1

Okaaaaaaaay, hier kann ich nicht die Wurzel von m1 und m2 ziehen.

Gibt es denn keine allgemeine Formel?

(Bitte keine Erklärung mit der Polardarstellung )

Comments

Habe ein Fehler endeckt:

 

muss

a4 - xa2 -  y²/4 = 0

heißen.

 

Komme dann unten auf

m = -2 + √7

Und daraus kann ich a und b rechnen.

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Schau mal hier unter Quadratwurzeln: https://www.matheretter.de/wiki/wurzel

Answer 1

Ich probiere das hier mal ganz allgemein zu machen und Dir eine Lösungsformel herzuleiten:

z^2 = x + yi
(a + bi)^2 = x + yi
a^2 + 2·a·b·i - b^2 = x + yi

Jetzt real- und imaginärteil getrennt gleich setzten

a^2 - b^2 = x
2ab = y

Wenn wir das Einsetzverfahren nehmen wollen lösen wir eine Gleichung zu einer unbekannten auf und setzten das in die andere Gleichung ein.

 

2ab = y
a = y/(2·b)

a^2 - b^2 = x
(y/(2·b))^2 - b^2 = x
y^2/(4·b^2) - b^2 = x
y^2/4 - b^4 = x·b^2
b^4 + x·b^2 - y^2/4 = 0

u = b^2

 

u^2 + x·u - y^2/4 = 0
u = - x/2 ± √(x^2 + y^2)/2

b = ± √u = ± √(- x/2 ± √(x^2 + y^2)/2)

b = ± √(- x/2 + √(x^2 + y^2)/2)
= ± √2·√(√(x^2 + y^2) - x)/2

a = y/(2·b)
= ± √2·y/(2·√(√(x^2 + y^2) - x))

Die Diskriminante der äußeren Wurzel darf nicht negativ sein. Damit entfällt hier die negative Lösung.

Wenn Du also die Gleichung hast:

z^2 = 4 + 12i
b = ± √2·√(√(x^2 + y^2) - x)/2 = ± √2·√(√(4^2 + 12^2) - 4)/2 = ± √(2·√10 - 2)
a = ± √2·y/(2·√(√(x^2 + y^2) - x)) = ± √2·12/(2·√(√(4^2 + 12^2) - 4)) = ± √(2·√10 + 2)

Also lautet:

z = √(2·√10 + 2) + i√(2·√10 - 2)
z = -√(2·√10 + 2) - i√(2·√10 - 2)