Berechne Nullstellen, Polynom, Real-Imaginärteil, Gradienten von f(z) = z^2 - 2z + 5 und weitere

Question

Berechnen sie die Nullstellen von:

\( f(z) = z^2 - 2z + 5 \)

Berechnen Sie für das Polynom:

\( p(z) = z^3 + 2z^2 - z + 1 ; z = x + iy ; x, y ∈ ℝ, i^2 = 1 \)

den Real- und den Imaginärteil, d.h. berechnen Sie die Funktionen

\( u ( x , y ) : R ^ { 2 } \rightarrow R , \quad v ( x , y ) : R ^ { 2 } \rightarrow R \)

für die gilt:

\( p ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) \)

Berechnen Sie den Gradianten von u, das heißt:

$$ \left[ \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial x } u ( x , y ) } \\ { \frac { \partial } { \partial x } u ( x , y ) } \end{array} \right] $$

 

Ich brauche die Lösungswege dazu. Das ist eine Prüfungsaufgabe für Wirtschaftsinformatiker.

Answer 1

Ich löse mal eine quadartische Gleichung in der pq-Form allgemein komplex auf:

z^2 + pz + q = 0
(a+bi)^2 + p(a+bi) + q = 0
a^2 + 2abi - b^2 + pa + pbi + q = 0

Imaginärteil: 2ab + pb = 0
a = -p/2

Realteil: a^2 - b^2 + pa + q = 0
(-p/2)^2 - b^2 + p(-p/2) + q = 0
p^2/4 - b^2 - p^2/2 + q = 0
- b^2 - p^2/4 + q = 0
b = ±√(4q - p^2)/2

Wenn wir jetzt haben 
f(z) = z^2 - 2z + 5

Dann  ist
a = -p/2 = 1
b = ±√(4q - p^2)/2 = ±2

Also ist z
z = 1 ± 2i

 

Comments

Es tut mir leid aber ich blicke da nicht so wirklich durch.

 

Das ist die einzige Aufgabe aus der gesamten Probeklausur die ich nicht verstehe.

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Was verstehst du da genau nicht?

Ich habe erstmal z durch eine komplexe Zahl ersetzt, dann ausmultipliziert und dann getrennt den Realteil und den Imaginärteil gleich Null gesetzt.

Du kannst meine allgemeine Lösung aber auch gleich mit den werten füllen, wenn dir das leichter erscheint. Ich wollte es einmal nur allgemein machen.

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Wichtig ist, dass du verstehst wie man an solchen Lösungsweg herangeht um ihn zu verstehen. Schau dir nicht die Lösung komplett an und sag nicht ich versteh es nicht, sondern arbeite das Zeile für Zeile durch.

Also schnapp die erste Zeile und schau ob du sie verstehst. Wenn nein. Frag nach, Wenn ja schau an wie ich auf die nächste Zeile anhand der vorhergehenden komme. Leichte Rechenschritte kommentiere ich meist nicht, bei schwierigen steht aber meist bei wie ich das mache bzw. was ich tun will.

Verstehst du irgendeine Folgerung nicht dann frag auch nach.

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Das erste ist mir klar das ich mit der pq Formel auf die Nullstellen der Quadratischen Funktion berechne.

Nur der Imaginärteil und Realteil soll ja von der Funktion 3ten Grades berechnet werden warum du aber in deinen Ausführungen dann aber nur eine Funktion zweiten Grades hast verstehe ich nicht.

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ok warte ich glaube ich hab das einigermaßen verstanden

 

in den Ausführungen ist z=i oder ist z = a+bi

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z ist (a + bi)

Gleich in der ersten Zeile setzte ich ja für z den Term (a + bi) ein. Danach taucht z in der allgemeinen Lösung nicht mehr auf. Nur noch weiter unten für den Speziellen Fall einer Gleichung.

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Deine Aufgabe besteht aus 2 Teilaufgaben. Ich habe zunächst nur mal die erste Aufgabe gelöst. Der 2. Teil ist noch offen. Das habe ich zunächst oben in der Aufgabe auch vermerkt.

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ich danke dir den ersten teil ist ja im Prinzip ein simples ausmultiplizieren anwenden von Binomischen Formeln und das 0 setzen des imaginär und Realteils.

 

Wo bei sich der Imaginärteil aus dem zusammen setzt, welches das i enthält und der Realteil den Rest hab ich das so richtig verstanden?

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Ja. Das hast du so richtig verstanden. Dann probiere ich mich mal an dem 2. Teil.

2. Teil

p(z) = z^3 + 2z^2 - z + 1
= (a + b·i)^3 + 2·(a + b·i)^2 - (a + b·i) + 1
= (a^3 + 3·a^2·b·i + 3·a·b^2·i^2 + b^3·i^3) + (2·a^2 + 4·a·b·i + 2·b^2·i^2) + (-a - b·i) + 1
= a^3 + 3·a^2·b·i + 3·a·b^2·i^2 + b^3·i^3 + 2·a^2 + 4·a·b·i + 2·b^2·i^2 - a - b·i + 1
= a^3 + 3·a^2·b·i - 3·a·b^2 - b^3·i + 2·a^2 + 4·a·b·i - 2·b^2 - a - b·i + 1

Aufteilung in Real- und Imaginäranteil

= (a^3 - 3·a·b^2 + 2·a^2 - 2·b^2 - a + 1) + i(3·a^2·b - b^3 + 4·a·b - b)

d.h.

u(a, b) = a^3 - 3·a·b^2 + 2·a^2 - 2·b^2 - a + 1
v(a, b) = 3·a^2·b - b^3 + 4·a·b - b

Berechnung des Gadienten

du/da = a^3 - 3·a·b^2 + 2·a^2 - 2·b^2 - a + 1
du/db = - 6·a·b - 4·b

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Ohne Witz du bist genial keine Ahnung wie du das machst und was du für einen IQ hast aber das ist Hammer.

Nur eine Frage noch zu erstens du schreibst das a=-p/2=1 ist und b=+-wurtzel(4q-p²)/2=+-2 ist wie komme ich darauf das habe ich nicht so raus filtern können.

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Wenn wir jetzt haben  
f(z) = z² - 2z + 5

hier in der speziellen Gleichung ist p = -2 und q = 5

Dann  ist durch einsetzen der oberen Werte:

a = -p/2 = 1 
b = ±√(4q - p²)/2 = ±2

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klar logisch wenn wir am Anfang gesagt haben wir benutzen die pq-Formel ist das natürlich einleuchtend das die werte 2 und 5 eingesetzt werde.

Vielen Vielen Dank du hast mir sehr geholfen und was viel wichtiger ist ich hab es verstanden.

=)