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$$ \lim_{n\to∞}\frac { n^3+2n }{ 2n^2+1 }=\lim_{n\to∞}\frac { n^3(1+\frac { 2 }{ n^2 }) }{ n^2(2+\frac { 1 }{ n^2 }) }=\frac { 1 }{ 2 } $$ ??

aber da sollte eigentlich unendlich rauskommen?? Aber wieso? Wo ist mein Fehler?

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Beste Antwort
Hi Emre,

nach der 1. Umformung steht im Zähler
n³ * (1 + 2/n²)
und im Nenner
n² * (2 + 1/n²)

(1 + 2/n²) geht für n -> ∞ gegen 1, und
(2 + 1/n²) geht für n -> ∞ gegen 2.

Also geht der Zähler für n -> ∞ gegen n³ * 1
und der Nenner für n -> ∞ gegen n² * 2

Und damit der ganze Term gegen n/2.

Alles klar?

Lieben Gruß
Andreas

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Hallo Andreas :-)

vielen Dank für deine Erklärung! :-)

Andreas kannst Du mir mal bitte bei einer anderen Frage helfen? :-)
Es geht um Wachstumsprozesse (die ich eigentlich schon in der Realschule können sollte Oo)

Klar Emre, leg los :-D

Was genau bedeutet Und damit der ganze Term gegen n/2.?

@Gast hj195:

Das ist sicherlich nicht mathematisch korrekt ausgedrückt, soll aber bedeuten, dass bei wachsendem n die Differenz des Terms von n/2 beliebig klein wird.

Beispiel:

Für n = 10 ergibt der Term

[ 103 * (1 + 2/102) ] / [ 102 * (2 + 1/102) ] ≈ 5,0746268657


Für n = 100 ergibt der Term ≈ 50,007499625


Für n = 1000 ergibt der Term ≈ 500,0007499996


Für n = 1.000.000 ergibt der Term ≈ 500.000,00000075


usw.


Besten Gruß

Für "asymptotische Gleichheit" würde man übrigens fordern, dass der Quotient gegen Eins, nicht die Differenz gegen Null geht. Wobei Letzteres tatsächlich stärker ist, was auch ganz interessant zu zeigen ist: Wenn zwei Folgen \((a_n)\) und \((b_n)\) mit \(\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0\) gegeben sind, dann ist \(\lim\frac{a_n}{b_n}=1\).

Das kann man sich ja mal als Übungsaufgabe überlegen.

@Ché Netzer:

Interessanter Hinweis - danke dafür!

@Ché Netzer: An deiner letzten Aussage habe ich Zweifel.

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Entscheidend ist nur n^3/n^2 und das geht gegen unendlich, weil n^3 schneller wächst als n^2. Die Klammerterme spielen keine Rolle. Sie gehen gegen 1 bzw. 2. Sie zu betrachten/verwenden war dein Fehler.
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lim (n→∞) (n^3 + 2n)/(2n^2 + 1)

n^2 Kürzen

lim (n→∞) (n + 2/n)/(2 + 1/n^2)
lim (n→∞) (n + 0)/(2 + 0)
lim (n→∞) n/2 = 

Avatar von 487 k 🚀

Tipp: Wolframalpha für Android hätte dir auch erzählt wie du es richtig ausrechnest.

Hallo Mathecoach :-) vielen Dank :)

Jaa ich lad es mir aufm Handy von meiner Mutter. Meins ist leider kaputt. Ich lads runter :-)

"n/2 = ∞"?\(\)\(\)

n/2=unendlich

ich denke blöd gesagt: Wenn man für n unendlich einsetzt und durch 2 teilt, dann ist es imme noch unendlich (ganz blöd gesagt)

Ché Netzer wollte darauf hinweisen, dass meine mathematische Schreibweise ungenügend ist.

Oh

ok

:-)

Matrhecoach ic habb irgendwie schlechte Laune weil ic hdiese Aufgaben zur Differential und Integralrechnung nicht konnte :-(

Mach dir deswegen keinen Kopf.

Schlimmer finde ich es wenn einfache Termumformungen aus der 7/8. Klasse misslingen.

Ok mach ich

ja hab da ein fehler gemacht aber das war ein ziemlich dummer fehler

Wie kamst du denn mit der Arbeit aus der 10 Klasse klar ? Mit dem BMT ?

Ich hab das ehrlich gesagt (noch) nicht gemacht. Mach ich aber auf jeden Fall noch. Dann sag ich dir ehrlich wie ich abgeschnitten habe :-)

muss jetzt für meine Stottertherapie lernen :-)

schonmal Gute Nacht und bis irgendwann auf Mathelounge.de :-)

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