Warum ergibt die Zahlenfolge an:=(n^3 + 2n)/(2n^2 + 1) im Grenzwert unendlich?

Question

$$ \lim_{n\to∞}\frac { n^3+2n }{ 2n^2+1 }=\lim_{n\to∞}\frac { n^3(1+\frac { 2 }{ n^2 }) }{ n^2(2+\frac { 1 }{ n^2 }) }=\frac { 1 }{ 2 } $$ ??

aber da sollte eigentlich unendlich rauskommen?? Aber wieso? Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Hi Emre,

nach der 1. Umformung steht im Zähler
n³ * (1 + 2/n²)
und im Nenner
n² * (2 + 1/n²)

(1 + 2/n²) geht für n -> ∞ gegen 1, und
(2 + 1/n²) geht für n -> ∞ gegen 2.

Also geht der Zähler für n -> ∞ gegen n³ * 1
und der Nenner für n -> ∞ gegen n² * 2

Und damit der ganze Term gegen n/2.

Alles klar?

Lieben Gruß
Andreas

Comments

Hallo Andreas :-)

vielen Dank für deine Erklärung! :-)

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Andreas kannst Du mir mal bitte bei einer anderen Frage helfen? :-)
Es geht um Wachstumsprozesse (die ich eigentlich schon in der Realschule können sollte Oo)

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Klar Emre, leg los :-D

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Was genau bedeutet Und damit der ganze Term gegen n/2.?

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@Gast hj195:

Das ist sicherlich nicht mathematisch korrekt ausgedrückt, soll aber bedeuten, dass bei wachsendem n die Differenz des Terms von n/2 beliebig klein wird.

Beispiel:

Für n = 10 ergibt der Term

[ 10³ * (1 + 2/10²) ] / [ 10² * (2 + 1/10²) ] ≈ 5,0746268657

Für n = 100 ergibt der Term ≈ 50,007499625

Für n = 1000 ergibt der Term ≈ 500,0007499996

Für n = 1.000.000 ergibt der Term ≈ 500.000,00000075

usw.

Besten Gruß

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Für "asymptotische Gleichheit" würde man übrigens fordern, dass der Quotient gegen Eins, nicht die Differenz gegen Null geht. Wobei Letzteres tatsächlich stärker ist, was auch ganz interessant zu zeigen ist: Wenn zwei Folgen \((a_n)\) und \((b_n)\) mit \(\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0\) gegeben sind, dann ist \(\lim\frac{a_n}{b_n}=1\).

Das kann man sich ja mal als Übungsaufgabe überlegen.

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@Ché Netzer:

Interessanter Hinweis - danke dafür!

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@Ché Netzer: An deiner letzten Aussage habe ich Zweifel.

Answer 2

Entscheidend ist nur n^3/n^2 und das geht gegen unendlich, weil n^3 schneller wächst als n^2. Die Klammerterme spielen keine Rolle. Sie gehen gegen 1 bzw. 2. Sie zu betrachten/verwenden war dein Fehler.

Answer 3

lim (n→∞) (n^3 + 2n)/(2n^2 + 1)

n^2 Kürzen

lim (n→∞) (n + 2/n)/(2 + 1/n^2)
lim (n→∞) (n + 0)/(2 + 0)
lim (n→∞) n/2 = ∞

Comments

Tipp: Wolframalpha für Android hätte dir auch erzählt wie du es richtig ausrechnest.

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Hallo Mathecoach :-) vielen Dank :)

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Jaa ich lad es mir aufm Handy von meiner Mutter. Meins ist leider kaputt. Ich lads runter :-)

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"n/2 = ∞"?\(\)\(\)

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n/2=unendlich

ich denke blöd gesagt: Wenn man für n unendlich einsetzt und durch 2 teilt, dann ist es imme noch unendlich (ganz blöd gesagt)

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Ché Netzer wollte darauf hinweisen, dass meine mathematische Schreibweise ungenügend ist.

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Oh

ok

:-)

Matrhecoach ic habb irgendwie schlechte Laune weil ic hdiese Aufgaben zur Differential und Integralrechnung nicht konnte :-(

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Mach dir deswegen keinen Kopf.

Schlimmer finde ich es wenn einfache Termumformungen aus der 7/8. Klasse misslingen.

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Ok mach ich

ja hab da ein fehler gemacht aber das war ein ziemlich dummer fehler

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Wie kamst du denn mit der Arbeit aus der 10 Klasse klar ? Mit dem BMT ?

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Ich hab das ehrlich gesagt (noch) nicht gemacht. Mach ich aber auf jeden Fall noch. Dann sag ich dir ehrlich wie ich abgeschnitten habe :-)

muss jetzt für meine Stottertherapie lernen :-)

schonmal Gute Nacht und bis irgendwann auf Mathelounge.de :-)