Untersuche die Folge auf Konvergenz und berechne gegebenfalls den Grenzwert: (n^4-2n^3+n-1) / (n^3-1)

Question

Ich habe die Aufgabe :

(n⁴-2n³+n-1) / (n³-1)

Ich weiß schon, dass ich die "Quotientenregel" für Grenzwerte nicht  anwenden darf, weil der Nenner zu 0 wird und deswegen auch kein Grenzwert vorkommt und damit auch keine Konvergenz vorliegt. Aber ich muss es leider beweisen. Wie kann ich den Bruch umformen, sodass etwas vernünftiges bei rauskommt?

Answer 1

Ich nehme mal an:  GW für x gegen unendlich.
kürze doch mal alles mit n^3, dann hast du

(n-2+(1/n^2)-(1/n^3)) / (1-(1/n^3))
Die Teile mit dem n im Nenner haben den Grenzwert 0 im Zähler ist es wegen des
übrig gebliebenen n +unendlich

Answer 2

Was du mit Quotientenregel meinst, weiss ich nicht.

Alternative zum Kürzen mit 1/n^3 wäre

(n⁴-2n³+n-1) / (n³-1) = n .....

Polynomdivision durchführen.

Comments

Quotientenregel: Der Grenzwert eines Quotienten zweier Funktionen entspricht dem Quotienten ihrer Grenzwerte.

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Aha. Nach dem Kürzen mit 1/n^3 geht das dann.

Nach der Polynomdivision siehst du dann schon am bereits vorliegenden n auch dass der Grenzwert für n gegen unendlich, dann unendlich ist. (Die restlichen Summanden bleiben endlich).