Supremum und Infimum bestimmen

Question

Wenn ich folgende Funktion habe:

f(x)=(x^5-12x^4+4x^3-8x^2+15x-15)*e(x)              mit x∈R

Wie berechne ich dann Supremum und Infimum?

Comments

Die Funktion ist nach oben nicht beschränkt (warum?), sie besitzt hat daher kein Supremum. Ist sie nach unten beschränkt? Bestimme dazu vielleicht die Extremwerte.

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Woran erkenne ich, dass die Funktion nach oben nicht beschränkt ist? Muss ich da irgendetwas einsetzen?

Die Extremwerte werde ich dann gleich einmal bestimmen.

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(x^5-12x^4+4x^3-8x^2+15x-15) ist nicht nach oben beschränkt, weil x^5 nicht nach oben beschränkt ist (Schulwissen).

e^x ist nicht nach oben beschränkt (Schulwissen).

Das Produkt (x^5-12x^4+4x^3-8x^2+15x-15)*e(x) ist daher auch nicht nach oben beschränkt.

Muss man da was einsetzen? Wenn man das ohne Einsetzen weiß nicht. Ansonsten lässt sich durch Einsetzen sehr großer Werte eine Vermutung gewinnen, die aber sicher noch begründet werden sollte.

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Danke schon einmal! Hatte diese Tatsachen wohl verdrängt.

Für die Extremwerte habe ich nur 0 raus. Ist das dann das Infimum?

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Hi, die Extremstellen sind x=0 und x≈10.97622071 (Computer). Davon interessiert nur die Tiefstelle (welche ist das?), denn dort nimmt die Funktion ein relatives Minimum (welchen Wert hat es?) an. Dieses ist gleichzeitig das absolute Minimum (warum?) und somit auch das Infimum der Funktion f.

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Wo ist die Aufgabe eigentlich her und mit welchen Mitteln soll man sie lösen? Um die Nullstellen der ersten Ableitung zu bestimmen, muss eine nicht rationale Nullstelle einer kubischen Gleichung gelöst werden. Dies ist nicht so nett...

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Die Aufgabe habe ich im Internet gefunden. Da steht nur, dass man Supremum und Infimum bestimmen soll.

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Kannst Du die Quelle angeben?

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Im Moment leider nicht, da ich die Seite schon wieder weggedrückt habe, nachdem ich mir die Aufgabe aufgeschrieben hatte. Werde aber noch einmal suchen. Vielleicht finde ich die Seite ja wieder.

Answer 1

f(x) = e^x·(x^5 - 12·x^4 + 4·x^3 - 8·x^2 + 15·x - 15)

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) f(x) = 0

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Die Funktion ist nach oben unbeschränkt. Wir suchen eine Untere Schranke über Tiefpunkte

Extrempunkte

f'(x) = e^x·(x^5 - 7·x^4 - 44·x^3 + 4·x^2 - x) = 0

x·(x^4 - 7·x^3 - 44·x^2 + 4·x - 1) = 0 --> x = 0

x^4 - 7·x^3 - 44·x^2 + 4·x - 1 = 0 --> Über Näherung x = -4.069238800 ∨ x = 10.97622071 

f(-4.069238800) = -83.47066109 --> Tiefpunkt

f(0) = -15 --> Hochpunkt

f(10.97622071) = - 6.071575984·10^8 --> Tiefpunkt

Eine untere Schranke wäre demnach - 6.071575984·10^8.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

Ist das dann die einzige untere Schränke? Wenn ja, woran kann ich das erkennen?

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Jeder Tiefpunkt ist quasi eine untere Schranke. Allerdings eine lokale untere Schranke.

Jeder Hochpunkt ist quasi eine lokale obere Schranke.

Infimum und Supremum gaben allerdings die kleinste untere Schranke und die größte obere Schranke an.

Um die das eventuell besser vorstellen zu können darfst du auch immer gerne den Graphen skizzieren:

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Danke nochmals für die Ergänzung. So kann ich es mir doch etwas besser vorstellen.

Answer 2

f ( x ) = ( x⁵ - 12x⁴+ 4x³-8x²+15x-15)*e^x
lim x -> ∞
im Klammerausdruck wächst x^5 am raschsten, alles andere ist vernachlässigbar
e^x geht auch gegen ∞, Das Produkt geht gegen unendlich.

lim x -> - ∞
x^5 geht gegen - ∞, alles andere ist vernachlässigbar
e^x geht gegen 0, e^x geht schneller gegen 0 als x^5 gegen unendlich
geht, daher geht das Produkt gegen 0.
Wenn mal will kann man hier den Beweis mit l Hospital führen.

Antort " Hi, die Extremstellen sind x=0 und x≈10.97622071 (Computer). "
Mir wird im Graph noch ca. x= -4 als Extrempunkt angezeigt.

mfg Georg

Comments

Hi, das ist richtig, diese Nullstelle hatte ich unterschlagen.

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Danke auch an dich für deine Antwort!Wie meinst du das konkret mit L'Hospital? Muss ich dann die Funktion ganz normal ableiten? Aber das muss ich doch auch so. Sehe das im Moment noch nicht. Vielleicht kannst du mir dazu noch was erklären.

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f(x) = e^x·(x⁵ - 12·x⁴ + 4·x³ - 8·x² + 15·x - 15)
damit ich weniger Schreibarbeit habe verkürze ich zu
f(x) = e^x· * x⁵
anders geschrieben
f ( x ) = x^5 / ( 1 / e^x ) | ∞ / ∞  l´Hospital  ist anwendbar
[ zähler ] ´ /  [ nenner ] ´
lim x -> -∞  [ x^5 / ( 1 / e^x ) ] = l´Hosp = 5 * x^4 / ( - e^x / ( e^x)^2 )

lim x -> -∞  [ 5 * x^4 / ( 1 / -e^x  )  |  immer noch ∞ / ∞ 
l´Hospital  nochmals, mehrfach anwenden, bei jedem
Durchgang verkleinert sich der Exponent von x um 1
nachher bleibt übrig : wert / unendlich = 0

mfg Georg

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Danke für die Erklärung. Eigentlich komme ich ja mit Hospital gut klar, aber hier wäre ich einfach nicht auf die Idee gekommen, ihn zu benutzen. Ist aber eine sehr schöne Alternative.