Funktionsgleichung herausfinden...

Question

Es ist in Form einer Tabelle aufgezeichnet

Eine ganzrationale Funktion f 3.Grades mit folgenden Eigenschaften:

1. Aufstellen eines allgemeinen Funktionsterms (lautet die vielleicht f(x)=ax³+bx²+cx+d ???)

(1) Der Graph von f verläuft durch den Koordinatenursprung. (Man soll eine notwendige Funktionsbedingung aufstellen und die zugehörige Gleichung, also das einsetzen in die entsprechende Funktionsgleichung)

(2) P(5/100) ist ebenfalls Punkt des Funktionsgraphen. (Genau das gleiche machen wie bei 1)

(3) Der Graph von f hat an der Stelle 5 einen Hochpunkt. (Das gleiche Verfahren wie 1 und 2)

(4) An der Stelle 2 liegt ein Wendepunkt vor. (Gleiche Verfahren wie 1,2 und 3)

Danach soll man das entstandene Gleichungssystem lösen.

Die gesuchte Funktion lautet möglicherweise:

Zum Schluss: Prüfen der hinreichenden Bedingung für Extrema und Wendestellen (???)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, da ich sowieso Schwierigkeiten in Mathe habe.

Ach ja, Gedanken dazu habe ich mir natürlich auch gemacht: Ich hätte jetzt vermutet, dass man bei (1) bei der notwendigen Funktionsbedingung einfach hinschreibt: einsetzen von P₁(0/0)...

Answer 1

Hi HCP Power,


der allgemeine Funktionsterm für eine Funktion 3. Grades lautet in der Tat
f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Nun muss man in diesen allgemeinen Funktionsterm die gegebenen Informationen einsetzen:

Der Graph von f verläuft durch den Koordinatenursprung (0|0), also
I. f(0) = 0 = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d | d = 0

P(5|100)
II. f(5) = 100 = a * 5³ + b * 5² + c * 5


Hochpunkt an der Stelle 5, also ist dort die 1. Ableitung = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
III. f'(5) = 0 = 3a5² + 2b*5 + c = 75a + 10b + c

Wendepunkt an der Stelle 2, also ist dort die 2. Ableitung = 0
f''(x) = 6ax + 2b
IV. f''(2) = 0 = 6a*2 + 2b = 12a + 2b

Nun hat man 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, die man mit dem Gauß-Verfahren oder mit einem guten Taschenrechner lösen kann:

a = -1
b = 6
c = 15
d = 0

Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = -x³ + 6x² + 15x



Besten Gruß

Comments

Also erstmal danke für deine Antwort.

Leider verstehe ich das nicht ganz: Welche 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten meinst du und wie löst du die? Kannst du mir das bitte zeigen?

Wie soll ich dann die hinreichende Bedingung für Extrema und Wendestellen prüfen?

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Gern geschehen!

Allgemeiner Funktionsterm für eine Funktion 3. Grades:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Uns fehlen, um die Funktion zu bestimmen, die Werte für a, b, c und d; das sind also unsere 4 Unbekannten.

Die 4 Gleichungen, die man aus den gegebenen Informationen aufstellen kann, habe ich oben aufgelistet:

I. f(0) = 0 = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d | d = 0

II. f(5) = 100 = a * 5³ + b * 5² + c * 5

III. f'(5) = 0 = 3a5² + 2b*5 + c = 75a + 10b + c 

IV. f''(2) = 0 = 6a*2 + 2b = 12a + 2b

oder etwas übersichtlicher:

I. d = 0

II. 125a + 25b + 5c = 100

III. 75a + 10b + c = 0

IV. 12a + 2b = 0 | 2b = -12a

Nun könnte man zum Beispiel die III. Gleichung mit 5 multiplizieren und davon die II. Gleichung subtrahieren:

III.*5 375a + 50b + 5c = 0

II. 125a + 25b + 5c = 100

III.*5 - II. 250a + 25b = -100

Dies jetzt mit 2 multiplizieren:

500a + 50b = -200

und IV. einsetzen

500a - 300a = -200

200a = -200

a = -1

Wenn wir a = -1 in IV. einsetzen, erhalten wir

2b = -12 * (-1) = 12

b = 6

Und nun a = -1 und b = 6 in II. eingesetzt ergibt

II. 125a + 25b + 5c = 100

-125 + 150 + 5c = 100

5c = 100 + 125 - 150 = 75

c = 15

d = 0 ergab sich ja schon aus der I. Gleichung.

Nun haben wir also mit den 4 Gleichungen die 4 Unbekannten a, b, c und d bestimmt und damit auch die gesuchte Funktionsgleichung.

Die hinreichenden Bedingungen für Extrema und Wendestellen brauchst Du bei solchen Aufgaben nicht zu prüfen; hier reichen die notwendigen Bedingungen f'(x) = 0 bzw. f''(x) = 0

Answer 2

Dein erster Gedanke ist schonmal richtig.

Schreibe zuerst einfach mal die Bedingungen mathematisch hin:

f(0)=0       (1)

f(5)=100   (2)

f'(5)=0        (3)

f''(2)=0        (4)

Dazu kann man nun folgendes Gleichungssystem aufstellen, wenn man in f(x), f'(x) und f''(x) einsetzt (die letzten beiden musst Du noch allgemein bilden)

d = 0

125a + 25b + 5c + d = 100

75a + 10b + c = 0

12a + 2b = 0

Jetzt dieses Gleichungssystem lösen. Ich komme da auf:

a = -1, b = 6, c = 15 und d = 0

f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x

Die hinreichende Bedingung schaffst Du selbst? Für den Hochpunkt schauen ob f''(5) < 0 und für f'''(2) ≠ 0 gilt ;).

Grüße

Comments

Danke für deine Antwort, leider verliere ich hier sofort den Überblick... Kannst du mir zeigen auf welche Aufgaben die Rechnungen beziehen..

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Die aufgestellten Gleichung sind von oben nach unten eingesetzt, also die Bedingungen (1) bis (4).

Wenn Du nicht folgen kannst, probier es selbst (ohnehin besser ;)). Du solltest auf das gleiche wie ich kommen. Sonst melde Dich nochmals.

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Ahh, hab die Zahlen an dem Rand nicht bemerkt -.-

Nur diesen Teil verstehe ich nicht ganz:

"Dazu kann man nun folgendes Gleichungssystem aufstellen, wenn man in f(x), f'(x) und f''(x) einsetzt (die letzten beiden musst Du noch allgemein bilden)"

d = 0 

125a + 25b + 5c + d = 100 

75a + 10b + c = 0 

12a + 2b = 0

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Aso, da hatte ich Dich missverstanden. Dieses Gleichungssystem ist jenes das ich meinte. Das ist eigentlich wirklich so leicht aufzustellen, wie es von mir dasteht. Zumindest wenn man schon etwas Übung da drin hat. Versuch es wirklich mal selbst.

Das erste zeige ich Dir auch nochmals genauers:

f(0) =0 ist die gegebene Bedingung

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

--> f(0) = a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 0

d = 0

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Jaja, das habe ich verstanden, aber ich weiß nicht ganz wie ich jetzt drauf komme was a,b und c für Zahlen sind...

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Gut ;).

Dann hast Du nun ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten. d = 0 kannste gleich einsetzen. Das löse.

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Leider verstehe ich auch nicht ganz: Welche 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten meinst du und wie löst du die? Kannst du mir das bitte zeigen?

Wie soll ich dann die hinreichende Bedingung für Extrema und Wendestellen prüfen?

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Diese vier Gleichungen:

d = 0

125a + 25b + 5c + d = 100

75a + 10b + c = 0

12a + 2b = 0

Mit den vier Unbekannten. Wenn Du die erste Gleichung direkt in die zweite Gleichung setzt erhältst Du sogar nur noch ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Probiers.

Die letzte Frage habe ich schon beantwortet. Siehe die eigentliche Antwort.