wie fasse ich den Term 1/3 * ((n+1)! / (n-2)!) + (n+1)² - (n+1) zusammenfassen

Question

Kkönnt ihr mir vielleicht zeigen wie man (n+1)! oder (n-2)! noch anders schreiben kann?

Oder noch besser wenn ihr mir zeigen könnt wie ich den Term Linksterm zusammenfassen kann.

$$ \frac { 1 } { 3 } \frac { ( n + 1 ) ! } { ( n - 2 ) ! } + ( n + 1 ) ^ { 2 } - ( n + 1 ) = \frac { 1 } { 3 } ( n + 1 ) n ( n + 2 ) $$

Danke.

Answer 1

1/3 * ((n+1)! / (n-2)!) + (n+1)² - (n+1)

1/3 * ((n-2)! * (n-1) * (n) * (n+1) / (n-2)!) + (n+1)² - (n+1)

1/3 * ((n-1) * (n) * (n+1)) + (n+1)² - (n+1)

1/3 * ((n-1) * (n) * (n+1) + 3 * (n+1)² - 3 * (n+1))

1/3 * ((n + 1) * ((n-1) * (n) + 3 * (n+1) - 3))

1/3 * ((n + 1) * (n^2 + 2·n))

1/3 * ((n + 1) * n * (n + 2))

Was zu zeigen war.

Comments

Danke dir

Aber wie bist du eig auf den zweiten Schritt gekommen ?

Wieso kann (n+1)! = (n-1)*(n)*(n+1) sein?

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Achtung:

(n+1)! = (n-2)! * (n-1) * (n) * (n+1)

Schreib dir mal die Fakultät von (n+1) auf

1 * 2 * 3 * ... * (n-2) * (n-1) * n * (n+1)

Nun teilen wir das auf.

(n-2)! * (n-1) * (n) * (n+1)

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Irgendwie verstehe ich es immer noch  nicht

wenn n! = 1*2*3....*n  

dann müsste doch (n+1)! = (1+1)*(2+1)*(3+1)*(n+1) = n! * (n+1) oder?

Wie kann man dann (n+3)! Oder (n-3)! Schreiben ?

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(n + 1)! = n! * (n + 1) ist richtig

aber schreib mal n! wieder aus

(n + 1)! = 1 * 2 * 3 * ... * n * (n +1)

(n + 2)! = 1 * 2 * 3 * ... * n * (n + 1) * (n + 2)

(n + 3)! = 1 * 2 * 3 * ... * n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)

Und jetzt schreibe ich noch glieder vor n auf

(n + 3)! = 1 * 2 * 3 * ...(n - 3) * (n - 2) * (n - 1) * (n + 0) * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)

(n - 3)! wären jetzt alle Faktoren bis (n - 3)

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wenn ich n! ausschreibe wie du es gesagt hast 

also (n + 1)! = 1 * 2 * 3 * ... * n * (n +1)

wo kommt dann 1 * 2 * 3 * ... * (n-2) * (n-1) * n * (n+1)

her ? 

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vor der zahl n kommt doch die zahl n-1 und vor der zahl n-1 kommt die zahl n-2.

Das ... deutet doch an. das dort Terme weggelassen worden sind. Wieviel ich dort weglasse ist nicht angegeben.

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ahhh jetzt verstehe ich alles ;D
boooah hab irgendwie zu kompliziert gedacht

danke nochmal für deine Hilfe :D