Integration von 1/x. Wieso ln(|x|)?

Question

Hi,

Wieso ist eine Stammfunktion von 1/x eigentlich ln (|x|) ? Bitte nur(!) Tipps(!). Ich möchte es grossteils selber machen ;) Danke.

Answer 1

Ich habe das mal als Komplettlösung gemacht. Bitte also nicht gleich komplett lesen sondern nur den Ansatz. Dann versuchst du es selber. Also nur auf meine Lösung schauen, wenn du beim nächsten Schritt Probleme hast.

Ich leite mal den LN(x) ab. Dann müsste die Stammfunktion von dem was heraus kommt ja der LN sein oder?

Comments

Hi,

Ich verstehe den Schritt wo x/h in den Exponenten kommt nicht ganz. 

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Logarithmengesetz:

LN(a^b) = b*LN(a)

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Ich verstehe den Sinn hier nicht? Speziell wenn Du es als "Komplettlösung" bezeichnest.

Inwiefern beantwortet das die Frage bzgl dem Betrag?

Du gehst ja ohnehin mal davon aus, dass x > 0 ist und damit ist das ganze hinfällig.

Da muss das dann schon wie von hh184 gemacht werden?!

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Ich habe meinen Augenmerk nur auf ein anderes Detail gerichtet.

Ich habe nur gezeigt warum für x > 0 1/x die Ableitung vom LN(x) ist. Damit muss für x > 0 LN(x) die Stammfunktion von 1/x sein. 

Der Rest würde jetzt aus Symmetriegründen folgen weil 1/x eine zum Ursprung symmetrische Funktion ist.

Answer 2

Hi, bilde die Ableitung von ln(|x|) und vereinfache sie soweit wie möglich.

Comments

Hm, wie soll ich ln(|x|) denn ableiten? Das bereitet mir Probleme...

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Du benötigst
- die Kettenregel,
- die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion: (ln(x))' = 1/x und
- die Ableitung der Betragsfunktion: (|x|)' = |x| / x.

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Ok, das ist klar wenn ich das weiss.

Aber woher weiss ich / wie beweise ich, dass (ln (|x|))' = 1/x ist? 

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Nimm die Kettenregel. Innere Funktion u = |x|.

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Ok, aber dann muss ich die Ableitung von |x| mal Ableitung des log, wie soll ich den log ableiten??

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Na, dass habe ich doch vorgemacht.

Später darf man das Ergebnis natürlich wissen. Das darf man so benutzten als die Kenntnis das die Ableitung vom Sinus der Kosinus ist.

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Ok. Dann ist ja gut :)

Answer 3

Hi,

Überlege Dir wo f(x) = 1/x definiert ist. Überlege Dir wann nur der Logarithmus definiert ist ;).

Grüße

Comments

Für 0 ist 1/x nicht definiert. Der log ist ja das was im Exponenten steht letztendlich, das ist doch immer definiert, ausser bei 0^0, oder?

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Der erste Teil ist richtig. Dem zweiten Teil kann ich aber nicht folgen? Was für ein Exponent?

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Na ln(a) = x <=> e^x = a. Der ln(a) ist das was im Eponenten steht.

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Probiere mal e^x = -e zu lösen.

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Darf ich über ln?

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Wie immer Du willst. Zumindest solange es richtig ist^^.

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Ok.

e^x = -e 

x = ln(-e)

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Gib das mal in den TR ein.

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Error, ich wüsste auch nicht welches x die Gleichung ergeben sollte ^^

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Naja. nur weil 1/x an der Stelle 0 nicht definiert ist und der LN(x) an der Stelle 0 nicht definiert ist bedeutet es doch noch nicht das das eine die Ableitung des anderen ist. Bzw. das andere eine Stammfunktion des einen ist.

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Keins^^. Der ln ist für negative Numeri nicht definiert. Das ist ja das Problem und deswegen brauchts den Betrag ;).

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@Mathecoach: Das hat weder Legendär noch ich behauptet?

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Ok. Ich habe die Frage komplett anders interpretiert. Während es hier vornehmlich um den Betrag geht habe ich es interpretiert warum da der LN steht.

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Aso, das kann natürlich auch sein. Dachte die Frage wurde gestellt, da ich ihm  bei meiner letzten Antwort auf die Betragsstriche hingewiesen hatte ;).

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Ich habe die andere Frage nicht gelesen. Vielleicht hab ich es dadurch falsch interpretiert. Wer kann denn wissen , was in dem Gehirn eines Fragenden vorgeht :)

Answer 4

Zeichne mal f(x) = 1/ x auf.

Da gibt es links und rechts der y-Achse (bis auf das Vorzeichen) dieselben Flächenstücke unter der Kurve. Man sollte einfach nicht über die y-Achse hinweg integrieren.