Lösungsmenge einer Ungleichung bestimmen: ln|x+4|>1

Question

Ich soll die Lösungsmenge bestimmen:

\( \ln |x+4|>1 \)

Ansatz:

x darf nicht 0 sein, da ln(0) ungültig. Also x= -4 ausgeschlossen.

Fallunterscheidung wegen Betragsstrichen: Falls der ganze Term lnx+4< 0, und wir den Betragsterm ein Minus vorransetzen, darf man auch nicht, (nichts negatives logarithmieren).

Also gibt es nur den positiven Fall oder?

Ich löse das ln x+4 , in dem ich die Basis e einsetze, und es bleibt x+4 übrig; rechte Seite wird ln(1), und das ist 0.

Letzendlich kommt da x > -4 raus (die -4 nicht einbegriffen)

Ist das richtig? Ich bin verwirrt und kann auch die Terminologie nicht gut.

Answer 1

ln(|x + 4|) > 1

Wie du richtig sagst ist x = -4 ausgeschlossen weil dann der ln nicht definiert ist. Ansonsten ist der Betrag aber immer größer Null.

|x + 4| > e

Jetzt gibt es den Fall x + 4 > 0 bzw. x > -4 dann lasse ich den Betrag weg.

x + 4 > e
x > e - 4 = -1.281718171

Der andere Fall ist x + 4 < 0 bzw. x < -4 dann setzte ich

- (x + 4) > e
x + 4 < - e
x < - e - 4 = -6.718281828

Damit ist die Lösungsmenge

x < - e - 4 oder x > e - 4