Integration durch Substitution. Nette Aufgabe gesucht.

Question

Hi,

Ich suche eine schöne, knifflige Aufgabe zur Integration durch Substitution, danke! 

Comments

wenn noch Interesse besteht, habe ich ein paar schöne knifflige Aufgaben aus meinen Unterlagen!

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Oh, ja das wär schön :)

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2 Aufgaben sind unten. Viel Spaß mit den ganzen Nebenrechnungen.

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Werde mich wahrscheinlich morgen hinsetzen dazu :)

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Ich habe dir noch was Informatives bei

https://www.mathelounge.de/145004/integration-summenregel-subst

gepostet, vielleicht hilft dir das deine Frage

https://www.mathelounge.de/144955/integration-von-1-x-wieso-ln-x

leichter zu beantworten.

Answer 1

Bitteschön.

f(x) = ln( (x  - 2 )² + 4  )

∫f(x)dx

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Puuhh, ich brauch nen Tipp^^ Habe bereits \( u := (x-2)^2 + 4 \) probiert. Dann hab ich im Kopf \( u := x-2 \) probiert, weiss dann aber nicht was ich mit der 4 im ln machen sollte. 

Vllt müsste ich irgendwie \( u := \frac{1}{ \text{irgendwas}} \) substituieren, damit sich der ln kürzt? Danke. 

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Die Stammfunktion wäre

4 tan^{-1}(1/2 (-2+x))+(-2+x) (-2+log(4+(-2+x)^2))

ermittelt mit Wofram.

Meine Einschätzung : Die Aufgabe ist doch mehr etwas für Champions.

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Haha. Ok aber versuchen möcht ichs trotzdem ^^ ;-)

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Beginne mit der von DIr genannten Subst.

Nach der Subst. denke an part. Integration.

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Ok.

\( u := (x-2)^2 + 4 \longrightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}} = 2(x-2) \longrightarrow \mathrm{dx} = \frac{\mathrm{du}}{2(x-2)} \)

Einsetzen: \( ... = \int \frac{ \ln (u)}{2 (x-2)} \mathrm{du} \)

Was mir hier Probleme bereitet ist, dass ich durch \( 2(x-2) \) teile, soll ich das jetzt wie eine. Konstante behandeln?

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Aso sry, hatte nur die eine Subst. gesehen. Die letztere. Das wäre meine Wahl gewesen. Die von Dir gerade verwendete hat das Problem, dass wieder ein x reinkommt (dazu dann auch meine zweite Aufgabe^^).

Naja, Mathecoach hat den Spaß ohnehin verdorben und die Komplettlösung gepostet. Kannst Dich da entlanghangeln ;).

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Hab ich noch nicht verstanden, also...

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hier ist der Aufgabenposter.

Du bist schon auf dem richtigen Weg gewesen mit u = x -2

Danach folgt eine partielle Integration, indem du eine 1 * in das Integral ziehst.

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Zu deiner Nebenfrage 2*(x-2) kann nicht als Konstante behandelt werden, ausser die 2 vor der Klammer. (x-2) ist von x abhängig und es soll ja nach x integriert werden.

Answer 2

Bitteschön.
 
f(x) = (e^{(3*x^-2)}  ) / (x⁵)

∫f(x)dx

Answer 3

Hi,

Habe hier auch noch zwei "Substitutionsintegrale".

$$\int \frac{(2\ln(x)+3)^3}{x}\;dx$$

Interessant hier -> zweifache Subst. (falls mans braucht)

$$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\;dx$$

Vorgabe: Keine trigonometrische Subst.

Interessant hier -> "doppelte" Substitution. Probiers und Du wirst sehen was ich meine^^.

Grüße

Comments

Ok, da wende ich mich nach der Aufgabe zu :-)

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Ach übrigens, du hast das \( \large{ \mathrm{dx}} \) völlig vergessen.

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Wenn das der Grund ist, warum Du eventuell Probleme hast...?

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Nö, von Problemen war nirgends die Rede in meinem Kommentar. Oder wohl doch?

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Also, meine Lösung zum 1. Integral:

Subst.: \( u := 2 \ln (x) + 3 \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{du}} = \frac{2}{x} \Rightarrow \mathrm{dx} =  \mathrm{du} \cdot \frac{x}{2} \).

Einsetzen: \( \int \frac{ (2 \ln (x) + 3)^3 }{x} \mathrm{dx} = \int \frac{u^3}{x} \cdot \frac{x}{2} \mathrm{du} = ...\)

Jetzt das x kürzen und die \( \frac{1}{2} \) vor das Integral ziehen:

\( ... = \frac{1}{2} \cdot \int u^3 \mathrm{du} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} = \frac{1}{8} \cdot u^4 \).

Resubst.: \( \frac{1}{8} \cdot u^4 \longrightarrow \frac{(2 \ln (x) + 3)^4}{8} \).

Richtig? Hm, habe das Gefühl, dass das da ein Fehlerchen ist...

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Ergebnis: \( \int \frac{(2 \ln(x) + 3)^3}{x} \mathrm{dx} = \frac{(2 \ln(x) + 3)^4}{8} + C \)

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In der zweiten Zeile hast Du nen Schreibfehler. Da muss es dx = du*2/x heißen.

Hast Du aber im Weiteren richtig verwendet.

Ergebnis passt :). Nach dem  Integrieren wäre ein +C natürlich schön, wie Du es normal auch machst ;).

Genau. Sehr gut :)

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Hm, nein wenn mich nicht irre liegt mein Fehler hier:

Ich habe \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{du}} = \frac{2}{x} \) geschrieben, aber es müsste 

\( \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}} = \frac{2}{x} \) heissen. Oder?

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Ja gut, das ist ja egal. Ist ja nur eine Umformung. Um aber da haste Dich verwurschtelt. Wie gesagt, wohl nur ein Schreibfehler, da richtig weitergerechnet wurde ;).

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Zu 2. ich habe mich noch nicht rangewagt, aber was meinst du mit doppelte Substitution?

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Probiers und Du wirst sehen was ich meine

;) Will Dir den Spaß nicht verderben^^.

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Vorgabe: Keine trigonometrische Subst.

ist hier gemeint, dass man auf x = a*sinhz etc. verzichten soll mit √(a² + x²)?

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Ja ;).

\(       \)

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Wird für die Lösung des zweiten Integrals eine partielle Integration benötigt?

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Nope, die wird dafür nicht benötigit. Zumindest nicht, so wie sie von mir gedacht ist ;).

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Hm, ich brauch nen Tipp, probiert habe ich \( u:= 1 + x^2 \). Im Kopf dann noch \( u := \sqrt{ 1 + x^2} \). Hm.

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Probier Dich an letztgenannter Subst.. Diese ist zielführend. Erstere würde eine weitere Subst. fordern und deshalb mal uninteressant, wenn wir schon die zweite gesehen haben ;).

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... = (1/3)  *   ²√( (x² + 1)³ ) + C  als Lösung

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Moment, Korrektur folgt gleich.

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So die Lösung sollte (√[x² + 1]) - artanh(√[x² + 1]) + C sein

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Dem kann ich zustimmen. Gut :)

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Die falsche Lösung stammt daher, dass ich zwar korrekt abgeleitet habe, aber es falsch "zusammengesetzt" habe. Wohl wieder etwas geträumt.

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Ok, ich habe es probiert:

Subst.: \( u := \sqrt{1+x^2} \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{du}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \mathrm{dx} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \mathrm{du} \)

Einsetzen: \(\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \mathrm{dx} = \int \frac{u}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \mathrm{du} \).

Damit kann ich so erstmal nichts anfangen, wo ist der Fehler?

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Gut, das ist soweit richtig.
Nun kommen wir zu meinem Stichpunkt: Doppelte Subst.
Versuche alle x'en irgendwie durch u zu ersetzen ;).

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Also soll ich nochmal substitutieren?

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"Umschreiben" wäre wohl das bessere Verb. Bei "Substituieren" hört sich das so an, als würdest Du ein neues u (bzw. s etc) suchen ;).

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Hm, umschreiben? Das ist gleich:

\( \int \frac{ u \cdot \sqrt{1 + x^2}}{x^2} \mathrm{dx} \) ...

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Zusätzliche Subst.: \( z := \sqrt{1+x^2} \)... Hahahaha :-D

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Diese zusätzliche Subst. wäre unnötig, da bereits u = \(\sqrt{1+x^2}\) ist. Du musst es nur erneut als u schreiben bei Dir. Und dann Dich noch um das x^2 kümmern. Als u ausdrücken ;).

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Also ich darf \( \sqrt{1+x^2} \) im Integral wieder durch \(u\) ersetzen?

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So ist es ;).

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Ok, dann habe ich im Zähler \(u^2\). Kann ich, weil ich ja nach \( \mathrm{du} \) integriere das \( x \) jetzt wie eine Konstante behandeln und \( \frac{1}{x^2} \) vor das Integral schreiben?

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Genau das wäre ein Fehler, der auch häufig gemacht wird. Deswegen auch dieses Integral ausgewählt ;).

Nein, das x muss irgendwie durch u beschrieben werden.

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Ich hätte mich auch sehr gewundert wenn ich das gedurft hätte^^. 

Nicht leichter als das: 

\( u = \sqrt{1+x^2} \Rightarrow u^2 - 1 = x^2 \). Passts? 

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Genau das war der von mir beabsichtigte "Trick", den es zu sehen galt.

Der Rest ist nur noch "normale" Integration, wobei man auch hier noch eine Kleinigkeit tun muss^^.

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Ich würde nochmals substituieren^^ 

Wir haben also: \( \int \frac{u^2}{u^2 - 1} \mathrm{du} \). Subst: \( t := u^2 - 1 \).

\( \Rightarrow \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{du}} = 2u \Rightarrow \mathrm{du} = \frac{\mathrm{dt}}{2u} \).

Einsetzen: \( ... = \int \frac{u^2}{t \cdot 2u} \mathrm{dt} = \frac{1}{2} \int \frac{u}{t} \mathrm{dt} \).

Da hab ich wohl die falsche Subst gewählt^^. Tipp...

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In der tat ist diese nicht geeignet.

Erweitere den Zähler mit +1-1

(oder alternativ mache eine Polynomdivision).

Answer 4

Ergänze bei den Tags noch Substitution, Stammfunktion und Integral, dann findest du bei den 'ähnlichen Fragen' viele Beispiele.

Answer 5

Ich lasse die Integration mal mit Wolfram-Alpha machen damit du eventuell Ansätze hast.

Comments

Das 3. Bild verstehe ich nicht, was wird da gemacht?

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1 * log(u^2 + 4) wird über partielle Integration integriert

∫ 1 * log(u^2 + 4) du = u * log(u^2 + 4) - ∫ u * 2·u/(u^2 + 4) du