Hi,
der Umfang errechnet sich zu
U = 2a+x + 1/2*2*π*(x/2) = 2a+x + πx/2 = 6 m
Dabei setzt sich der letzte Summand so zusammen: (x/2) ist der Radius. 2π(x/2) ist der Umfang eines Kreises, von dem wir nur die Hälfte brauchen (deswegen der Vorfaktor 1/2).
Der Flächeninhalt ergibt sich zu:
A = a*x + 1/2*π*(x/2)^2 = ax + π*x^2/8
Damit wir nun was rechnen können, formen wir die Nebenbedingung (Umfang) nach a um und setzen es in A ein.
2a+x + πx/2 = 6 | -x-πx/2
2a = 6 - x - πx/2 |:2
a = 3 - x/2 - πx/4 = 3 - x(1/2+π/4) (*)
Damit in A(x):
A = (3-x(1/2+π/4)) * x + π*x^2/8 = 3x - x^2/2 - x^2*π/4 + πx^2/8 = 3x - x^2/2 - x^2*π/8
= 3x - x^2 (1/2 + π/8) (**)
Das soll nun maximal werden, also über die Ableitung gehen:
A'(x) = 3 - 2x(1/2+π/8) = 3-x(1+π/4) = 0
3 = x(1+π/4) |:(1+π/4)
x = 3/(1+π/4) ≈ 1,68 m
Nun könnte man das noch mit der zweiten Ableitung überprüfen, spare ich mir aber.
Du kannst nun die restlichen Werte errechnen:
Aus (**) ergibt sich A = 2,52 m^2
Aus (*) ergibt sich a = 0,84 m
Eine Probe überlasse ich Dir. Ich selbst habe in der frühen Stunde keine gemacht :).
Grüße
