Hallo liebe Leute!
und zwar habe ich folgende Aufgabe:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(-3)^{n} + 5^{n}}{(-3)^{n+1} + 5^{n+1}}$$
Laut Wolfram Alpha kommt für
n -> +inf ...1/5 raus
und für
n -> -inf ...-1/3 raus
Okay mein Ansatz ist:
1. Ich erweitere den Bruch(bzw. jeden Summanden im Zähler und Nenner) mit *1 (in Form $$\frac{(-3)^{-n}}{(-3)^{-n}}$$
2. Dann wird mein erster Summand des Zähler, also die -3^n durch die erweiterung zu -3^0 =1. Der zweite Summdand ist dann 5^n * -3^-n. Hier kann ich die -3^-n nun aber auch als 1/(-3^n) schreiben....der term strebt für unendlich gegen null also wird mein ganzer 2ter Summand 0 und im Zähler steht nur noch die 1.
3. Die Summanden im Nenner wurden ja ebenso mit $$\frac{(-3)^{-n}}{(-3)^{-n}}$$ und dazu habe ich auch aus der -3^{n+1}=-3*-3^n und 5^{n+1}=5*5^n.
4. Wieder gleiches Spiel: Erster Summand hebt sich durch die Erweiterung zu -3*-3^0 auf =-3*1 =-3 ....der zweite Summand wird wieder null....als GW erhalte ich -1/3.
DAS widerum ist laut Wolfram Alpha für -inf der Fall. Leider finde ich erstens nicht die Stelle an der es gerade relevant erscheint ob +inf oder -inf ...
Meine zweite problematik ist: Wenn ich das ganze genau so durchspiele aber nicht mit -3^-n erweiter sondern mit 5^-n dann komm ich bei 1/5 raus. Aber sollte es nicht egal sein welchen Summanden ich erweitere?