Probleme beim zeigen der Divergenz

Question

Es handelt sich bei allen Termen um Folgen:

$$ \lim_{n\to\infty} 1 +(-1)^n $$ Obige Folge divergiert, aber wie kann ich das zeigen?

$$ \lim_{n\to\infty}  \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} $$ Diese Folge konvergiert hingegen, leider schaffe ich es nicht den Grenzwert zu berechnen, hat jemand eine Idee?

Answer 1

Die Folgenglieder sind abwechselnd  0 oder 2 , zwei aufeinanderfolgende

haben also immer den Abstand 2.

Also können nicht von einem n an alle in in einer eps-Umgebung um

irgendeinen Grenzwert g liegen, wenn etwa  eps= 0,5.

Denn dann liegen in der Umgebung nur welche mit Abstand < 1

Comments

bei der 2. Folge ist der Grenzwert 0.

Sei also eps > 0 dann gilt

| a_n - 0 | < eps

⇔   2 / ( 2n-1 )  < eps

⇔   2 / eps  <   2n-1

⇔   1  +  2 / eps  <   2n

⇔   1/2   +  1 / eps  <   n

und zu jedem pos. eps gibt es 8nach Archimedes)

ein n mit  n > 1/2   +  1 / eps.

Von diesem n an liegen alle Folgenglieder in U_eps(0)

Also ist 0 der GW der Folge.

Answer 2

bei a)

wenn eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen diesen Grenzwert.

Du kannst 2 Teilfolgen finden:

a_n1=+1, a_n2=0 , diese konvergieren aber gegen unterschiedliche Werte ---> divergent

b) nutze den Sandwichsatz:

-1/(2n+1)<=b_n<=1/(2n+1) und betrachte n -->∞

Die beiden äußeren Terme streben gegen 0, daraus folgt, dass b_n auch gegen 0 streben muss.