Probleme beim Grenzwert berechnen von ((-3)^n + 5^n)/((-3)^{n+1} + 5^{n+1})

Question

Hallo liebe Leute!

und zwar habe ich folgende Aufgabe:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(-3)^{n} + 5^{n}}{(-3)^{n+1} + 5^{n+1}}$$

Laut Wolfram Alpha kommt für

n -> +inf ...1/5 raus

und für

n -> -inf ...-1/3 raus

Okay mein Ansatz ist:

1. Ich erweitere den Bruch(bzw. jeden Summanden im Zähler und Nenner) mit *1 (in Form $$\frac{(-3)^{-n}}{(-3)^{-n}}$$

2. Dann wird mein erster Summand des Zähler, also die -3^n durch die erweiterung zu -3^0 =1. Der zweite Summdand ist dann 5^n * -3^-n. Hier kann ich die -3^-n nun aber auch als 1/(-3^n) schreiben....der term strebt für unendlich gegen null also wird mein ganzer 2ter Summand 0 und im Zähler steht nur noch die 1.

3. Die Summanden im Nenner wurden ja ebenso mit $$\frac{(-3)^{-n}}{(-3)^{-n}}$$ und dazu habe ich auch aus der -3^{n+1}=-3*-3^n und 5^{n+1}=5*5^n.

4. Wieder gleiches Spiel: Erster Summand hebt sich durch die Erweiterung zu -3*-3^0 auf =-3*1 =-3 ....der zweite Summand wird wieder null....als GW erhalte ich -1/3.

DAS widerum ist laut Wolfram Alpha für -inf der Fall. Leider finde ich erstens nicht die Stelle an der es gerade relevant erscheint ob +inf oder -inf ...

Meine zweite problematik ist: Wenn ich das ganze genau so durchspiele aber nicht mit -3^-n erweiter sondern mit 5^-n dann komm ich bei 1/5 raus. Aber sollte es nicht egal sein welchen Summanden ich erweitere?

Comments

Du meinst sicher n -> ∞

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EDIT: habe das soeben so korrigiert.

Warum willst du denn überhaupt n--> -inf berechnen. Das steht ja nicht in der Frage.

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Ich wollte ja nur sagen was mir der Wolfram ausgibt und zwar:

x-> +unendlich = 1/5

+-> -unendlich = -1/3

Nochmal mein Prob:

Ich untersuche NUR für x-> +unendlich, bei erweiterung mit

-3: komme ich zu dem ergebnis -1/3

5: komme ich zu dem Ergebnis 1/5

Also ist mein Ergebnis wie ich oben rechne davon abhängig wie ich erweitere....was aber ja normal keine rolle spielen dürfte, weil meine erweiterung in beiden fällen ja nur *1 ist

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2. Dann wird mein erster Summand des Zähler, also die -3^n durch die erweiterung zu -3^0 =1. Der zweite Summdand ist dann 5^n * -3^-n. Hier kann ich die -3^-n nun aber auch als 1/(-3^n) schreiben....der term strebt für unendlich gegen null also wird mein ganzer 2ter Summand 0 und im Zähler steht nur noch die 1.

Rote Ziffern -> Bitte Klammern setzen. Du mein (-3)^{-n}

Orangener Bereich -> Das ist in der Gesamtheit falsch. Es ergibt sich (-5/3)^n = (-1)^n * (5/3)^n

So gibt es da jetzt mal keinen Grenzwert. Er alterniert. Kürzt man die (-1)^n (geht mit dem Nenner glaub ich) ergibt sich (5/3)^n, was gegen unendlich strebt, aber nicht gegen 0!

Answer 1

Hi,

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(-3)^{n} + 5^{n}}{(-3)^{n+1} + 5^{n+1}} $$

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{(-\frac35)^{n} + 1}{-3\cdot(-\frac35)^{n} + 5}$$

Kürze mit \(5^n\)  und schon kannst Du es ablesen ;). Die einzelnen Brüche sind alle kleiner als 1 und gehen deshalb gegen 0.


Grüße

Answer 2

Du machst, wenn ich das richtig verstehe:

(a+b)/(c+d) = a/b + c/d

Das ist verboten.

1/2= 2/4 = (1+1)/(2+2) ≠ 1/2 + 1/2 = 1

Comments

Du magst recht haben, aber ich habe vielmehr folgendes interpretiert:

$$\lim_{n\to\infty} 5^n\cdot \underbrace{\frac{1}{3^n}}_{\to 0}$$

und dann wurde einfach aufgehört.

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Das ist natürlich auch möglich und das sollte man ja auch nicht.

Du hast ja die Grenzwertberechnung schon durchgeführt, das wollte ich nicht wiederholen.