extremwertaufgaben mit nebenbedingung

Question

Ich hab da eine Aufgabe,

Eine Bluenvase: Ein oben offenes gefäß besteht aus dem Mantel eines Zylinders(höhe h ; radius r) mit angesetzter Halbkugel(r). Die gesamte Ausenfläche beträgt 400cm^2. Bestimme radius und höhe sowie das maximale volumen.

Kann mir jemand dabei helfen, was genau sind die nebenbedingungen und die zihelfunktion

Vielen dank

Comments

Ich kann mir die Vase nicht so recht vorstellen.

1 Zylinder mit r und h ist klar.
Wo ist die angesetzte Halbkugel ?
Unten oder oben ?
Falls unten ist kein stabiler Stand gegeben;
falls oben ist die Vase oben nicht offen.

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Die halbkugel ist unten dran und oben ist der Zylinder offen (also ohne stabielen stand)

Answer 1

Folgende Funktion soll maximiert werden (Volumen der Vase):

$$ Vol(r, h) = Vol_{Halbkugel}(r) + Vol_{Zylinder}(r, h) $$

Die Nebendigung lautet

$$ O_{Halbkugel} + M_{Zylinder} = 400~[cm^2] $$

wobei O für Oberfläche und M für Mantelfläche steht.

Du musst mit Hilfe der Nebenbedingung r oder h in Abhängigkeit von der jeweils anderen Größe bestimmen (durch Umstellen) und dies dann in die zu maximierende Funktion einsetzen, sodass diese nur noch von einer Variable abhängt. Dann kannst du wie sonst auch Extremstellen bestimmen.

Falls du weitere Fragen hast, stell sie

Answer 2

Ich versuch es mal !
Kugel  O =4πr²     ,  V = 4/3 πr³
Zylinder  O= 2πrh    ,  V = πr² *h
V (r,h) = 1/2*4/3 πr³ + πr² *h
Nebenbedingung ----->  400 cm² = 2πrh + πr² + 1/2 *4πr²   !

400 / 2πr  =  h + 0,5r + 0,25 * 4r
400 / 2πr  = h +1,5r
h = 400 / 2πr - 1,5r

V(r) =1/2*4/3 πr³ + πr² (  400/ 2πr - 1,5r )
V    =  4/6 πr³+ 200 r - 1,5 πr³
V   = - 5/6 πr³ +200r

V ´  = - 5πr²/2  + 200

0  =  - 2,5πr²  +200    ,  : -2,5   , π
0 =   r²  - 80/π ----->  r =  ± √ 25,5----->   r₁ = + 5,04    , r₂ = - 5,04
h =  400 / 2πr - 1,5r   =  12,63 - 7,58 = 5,05 cm

Comments

Hallo mathe 12,

Vielleicht eine Fehlannahme bei deiner Rechnung :

Nebenbedingung ----->  400 cm² = 2πrh + πr² + 1/2 *4πr²   !

Hier zählst du die Mantelfläche des Zylinders, die obere
oder untere Abdeckung und die halbe Kugelfläche
zusammen.
Eine obere oder untere Abdeckung dürfte aber nicht existieren
da unten die Halbkugel und die Vase nach oben offen ist.