Extremwertaufgaben mit Haupt- und Nebenbedingung (Querschnitt eines Torbogens)

Question

1.)Der Querschnitt eines Torbogens ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.Der Umfang betrage 10m.

Wie sind die Höhe h und der Radius r zu wählen ,damit das Rechteck den maximalen Flächeninhalt besitzt.


2.) Aus 1200cm² Blech soll ein Zylinder ,oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden.

Welche Maße erhält der Zylinder (r,h)?


Ich hoffe ihr könnt mir helfen ,Thema ist Extremwertaufgabenmit Haupt und Nebenbedingungen

Wäre gut wenn man mir detailliert erklärt wieso und warum. DANKE

Answer 1

1.)Der Querschnitt eines Torbogens ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.Der Umfang betrage 10m. Wie sind die Höhe h und der Radius r zu wählen ,damit das Rechteck den maximalen Flächeninhalt besitzt. 

Zu maximieren ist der Flächeninhalt des Rechtecks

A = h·2r

Weil wir 2 Variablen haben brauchen wir eine Nebenbedingung hier für den Umfang:

U = 2r + 2h + pi·r = 10

Ich löse diese Nebenbedingung nach h auf und setzte das in die Funktion für die Fläche ein.

h = 5 - r·(pi + 2)/2

A = h·2r = (5 - r·(pi + 2)/2)·2r = 10·r - r^2·(pi + 2)

Wenn das zu maximieren ist brauche ich die Ableitung die Null werden muss.

A' = 10 - 2·r·(pi + 2) = 0

Das löse ich nach r auf

r = 5/(pi + 2) ~ 0.9724613241

Nun noch h ausrechnen:

h = 5 - (5/(pi + 2))·(pi + 2)/2 = 5/2 = 2.5

Es war nicht ganz klar in der Aufgabe ob die untere Seite auch zum Umfang gehören soll. Ich bin jetzt mal davon ausgegangen. Ich denke mit dieser Anleitung kannst Du auch mal die 2. Aufgabe probieren.

Comments

ich habe gerade versucht die 2te aufgabe zulösen aber ich komme nicht drauf ...

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Hi, ich hab genau die selbe aufgabe vor mir liegen, nur der text ist anders. Ich würde gern wissen wie man beim auflösen nach h auf die pi +2 kommt und wohin das erste r verschwindet?

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2·r + 2·h + pi·r = 10

2·r + pi·r + 2·h = 10

r·(2 + pi) + 2·h = 10

2·h = 10 - r·(2 + pi)

h = 5 - r·(2 + pi)/2