Differenzierbarkeit von f(x):= (ln(x))/(x-1), für x ≠ 1 und f(1):=1, für x=1 an der Stelle x=1

Question

Gegeben sei die Funktion f: ⌉ 0,∞ ⌈ → R:

f(x)= (ln(x))/(x-1) für x ≠ 1

1 für x=1

Untersuchen Sie, ob f an der Stelle x=1 differenzierbar ist.

Vermutlich muss ich hier erst einmal ableiten. Bin mir aber unsicher in der genauen Vorgehensweise bei einer solchen Fragestellung.

Comments

Zusätzlich zur Ableitung, die eindeutig sein muss, muss zuerst auch lim (x gegen 1) f(x) = 1 gelten.

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Gut, dann werde ich erst einmal die Ableitung berechnen und danach den Grenzwert. Verstehe ich es richtig, dass der Grenzwert dann 1 sein muss?

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Ja. Wenn die Funktion nicht stetig wäre, ist sie auch nicht differenzierbar.

Beginne vielleicht besser mit dem Grenzwert. Dann kannst du gegebenenfalls früher aufhören.

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habe für den Grenzwert jetzt 1 raus.

Wäre es denn möglich, wenn der Grenzwert nicht 1 wäre und ich die Ableitungen trotzdem berechnen könnte, dass die Funktion stetig ist? Oder ist bei solch einer Aufgabe mit dem Grenzwert schon alles gesagt?

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Wenn eine Funktion 'springen würde,' kannst du nicht von einer definierten Steigung sprechen.

Es sieht so aus, als hätte die blaue Kurve (Realteil) in x=1 eine definierte Steigung. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28ln%28x%29%29%2F%28x-1%29

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Würde es denn in einer Klausur ausreichen bei dieser Funktion mit dem Grenzwert zu argumentieren? Eine Zeichnung der Funktion reicht ja in der Klausur nicht aus, auch wenn sie gut für das Verständnis ist.

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Wenn dein f '(x) und dein f(x) stetig sind, ist alles ok.Wenn eins von denen nicht gilt, bist du fertig.

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Dann habe ich es zumindest bei dieser Aufgabe verstanden. Stetigkeit war für mich immer ein sehr schwerer Begriff, um diesen mathematisch korrekt zu zeigen. Ich glaube, dass ich allmählich einen Zugang dazu bekomme. Es folgen aber vermutlich noch einige Aufgaben zu dem Thema. Brauche immer viele Beispiele, um sicher zu gehen.

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Bei Stetigkeit, kommt's halt immer drauf an, was du voraussetzen kannst.

Wenn du einen Epsilon-Delta- Beweis führen musst, sind die Funktionen meist relativ elementar.

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Hast du zufällig ein Beispiel zu einem Epsilon Delta Beweis? Oder vielleicht noch ein anderes interessantes Beispiel?

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Schau vielleicht mal bei den ähnlichen Fragen. Vielleicht willst du auch deine Rechnung  zu dieser Aufgabe noch zur Prüfung angeben?

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Okay, werde dann gleich einmal in den ähnlichen Fragen schauen.

Jetzt zu dieser Aufgabe:

Wie in deinem Kommentar oben habe ich zuerst lim für x→1 berechnet:

lim für x→1 (ln(x))/(x-1)

Wenn ich hier 1 einsetze kommt 0/0 raus. Also L'Hospital:

((1/x))/(1) und das gibt 1.

Answer 1

die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) berechnet sich aus$$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}h,$$falls dieser Grenzwert existiert. Es ist nach l'Hospital$$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{\log(1+h)}{1+h-1}-1}h=\lim_{h\to0}\frac{\log(1+h)-h}{h^2}=-\frac12.$$

Comments

Danke für deine Antwort!

Was bedeutet das jetzt für die Stetigkeit?

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Allgemein gilt, dass eine Funktion, die an einer gewissen Stelle differenzierbar ist, dort auch stetig ist.

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Danke nochmals. Die allgemeine Vorgehensweise kann ich jetzt nachvollziehen, aber wie kommst du am Ende auf -1/2? Auf die -1 im Zähler komme ich, aber wo kommt die 2 im Nenner her?

Vielleicht befasse ich mich heute schon zu lange damit und sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, aber im Moment sehe ich das echt nicht.

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Wende zweimal l'Hospital an.$$\lim_{h\to0}\frac{\log(1+h)-h}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{\frac1{1+h}-1}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{-\frac1{(1+h)^2}}2=-\frac12.$$

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Okay, dann ist jetzt alles klar! Danke für deine Mühe!