Exponentialgleichung lösen und Lösungsmenge bestimmen. 0.1^x - 10^{x+2} = 10^x - 0.1^{x+2}

Question

Aufgabe 46:

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen.

a) \( 4^{x}=64 \)

b) \( 5^{x}=10 \)

d) \( 2^{x-2}-2^{x+1}=14 \)

e) \( 0.1^{x}-10^{x+2}=10^{x}-0.1^{x+2} \)

Aufgabe 47:

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. Achten Sie auf Fallunterscheidungen.

a) \( |x-7|=2 \)

b) \( |3 x+6|=x \)

c) \( |3 x-5|=2|x+2| \)

Answer 1

Ich mache es immer so, dass ich versuche, die Potenzen auf eine gemeinsame Basis und/oder auf einen gemeinsamen Exponenten zu bringen.

46.e)

0.1^x - 10^{x+2} = 10^x - 0.1^{x+2}

1/10^x - 10^{x+2} = 10^x - 1/10^{x+2}

a^{b + c} = a^b * a^c

1/10^x - 100 * 10^x = 10^x - 1/(100 * 10^x)

mit 10^x multiplizieren

1 - 100 * 10^{2x} = 10^{2x} - 1/100

1.01 = 101 * 10^{2x}

0.01 = 10^{2x}

10^{-2} = 10^{2x}

Exponentenvergleich

2x = -2

x = -1

|3x + 6| = x

(3x + 6)^2 = x^2

9·x^2 + 36·x + 36 = x^2

8·x^2 + 36·x + 36 = 0

x = - 3/2 = - 1.5∨ x = -3

Probe:

Kann nicht funktionieren weil x auf der Rechten Seite >= 0 sein muss, wenn links ein Betrag steht der nur >= 0 ist.

Comments

Ich verstehe jedoch den Schritt ab der Formel nicht und zwar von wo kommt die 100 also besser gesagt die ganze reihe.

Aber warum quadriere ich denn muss ich nicht untersuchen wie sich die Funktion für größer und kleine als Null verhält

Answer 2

46a)

4^x = 64

4^x = 4^3

x = 3

b)

5^x = 10         |ln

x*ln(5) = ln(10)

x = ln(10)/ln(5)

Die anderen versuch mal selbst und gib Bescheid, wenns Probleme gibt ;).

47b) Das ist richtig. Es gibt dafür keine Lösung^^.

Grüße

Comments

Ich brauche bei der d Hilfe den Rest habe ich schon ausgerechnet hab ich ja bei meiner Frage auch gesagt also bei der c habe ich ungefähr 2,77 raus

Answer 3

Beachte: 10^{x+2} = 10^x * 10^2 = 10^x*100

0.1^x - 10^{x+2} = 10^x - 0.1^{x+2}  

1/10^x  - 100*10^x  = 10^x - 1/(10^{x+2})

1/10^x  - 100*10^x  = 10^x - 1/(100*10^{x})

10^x = u    . Substituieren, wobei u> 0

1/u - 100u = u - 1/(100u)             |*u

1 - 100u^2 = u^2 - 1/100

1 + 1/100 = 101u^2

1.01 = 101 u^2

0.01 = u^2

u = ± 0.1   . nur die positive Lösung kommt in Frage.

u= 10^x = 0.1 = 10^{-1}

10^x = 10^{-1}     |Exponenten vergleich

x = -1

Kontrolle:

0.1^x - 10^{x+2} = 10^x - 0.1^{x+2}  

0.1^{-1} - 10^{-1+2} = 10^{-1} - 0.1^{-1+2}  

10 - 10 =0=  1/10 - 1/10 =0 ok.