Lösen von Exponentialgleichung. 4^x+ 3*2^x=10. 2^x=u erlaubt?

Question

Morgen :)

Bin gerade am einer Aufgabe am verzweifeln . Sie sieht gar nicht kompliziert aus, aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.

Die Aufgabe lautet:

Bestimme die Lösung der Gleichung :

4^x+ 3*2^x=10

Nun kann ich hier substituieren? Die 4^x kann ich ja umschreiben. Kann ich nun  2^x mit "u" ersetzten und mit der  quadratische Gleichung  weiterrechnen?

Ich habe das substitutionsprinzip noch nicht so ganz verstanden. Bisher wurde immer "e" durch "u" ersetzt.

Danke fürs helfen .

Answer 1

4^x+ 3*2^x=10

(2^2)^x +3 *2^x=10

(2^x)^2 +3 *2^x=10

Substitution= z= 2^x

------->

z^2 +3*z -10=0

z_1.2=  3/2 ± √(9/4 +40/4)

z_1.2= -3/2 ± 7/2

z_1= 2

z_2= -5

Resubstitution:

2^1 =2^x

Exponentenvergleich

x=1

(-5)= 2^x -<hat keine Lösung

Answer 2

"Ich habe das substitutionsprinzip noch nicht so ganz verstanden. Bisher wurde immer "e" durch "u" ersetzt. "

vermutlich nicht eher wurde e^x durch u ersetzt.

Aber du hattest bestimmt auch mal biquadratische Gleichungen.

x^4 + 2x^2 - 9 = 0.

Damals wurde u = x^2 gewählt.

"Substituieren" heisst einfach "ersetzen". Da kannst du ersetzen, was immer dir gerade passt. 

Alternative zu deiner (richtigen) Sustitution:

4^x+ 3*2^x=10

(2^x)^2 + 3*2^x - 10 = 0

(2^x  ......)(2^x ......) = 0      | faktorisieren. -10 = (5)*(-2) und 5 - 2 = 3

(2^x - 2)(2^x + 5) = 0

1. Fall 2^x = 2 = 2^1       | Exponentenvergleich

x = 1

2. Fall 2^x = - 5 gibt keine weitere Lösung, da 2^x nie negativ ist. 

Bitte vergleiche unsere Resultate und korrigiere gegebenenfalls meine Resultate. 

Comments

Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/297818/logarithmieren-von-gleichung-und-dezimalstellen-2015-2015

Answer 3

4^x+ 3*2^x=10

Nun kann ich hier substituieren? Die 4^x kann ich ja umschreiben. Kann ich nun  2^x mit "u" ersetzten und mit der  quadratische Gleichung  weiterrechnen?

Genau so ist es dann hast du

u^2 + 3u - 10 = 0

gibt u=2 oder u=-5

und dann zurück

2^x = 2  oder 2^x = -5

gibt nur x=1 , weil die 2. keine Lös. hat.