f(x)= -x^2+b, die mit der x-Achse zusammen den Flächeninhalt 1 ergibt

Question

Finden Sie unter den Parabeln der Form

f(x)= -x^2+b

diejenige heraus, die mit der x-Achse die Fläche 1 einschließt.

Also bis jetzt hab ich verstanden, dass b die Verschiebung auf der y-Achse angibt, aber weiter weiß ich nicht.
Vielleicht dass man versuchen könnte irgendwie mit den Schnittpunkten an der x-Achse weiterzumachen, aber ich verstehe das nicht :(

Answer 1

Hi,

das ist die richtig Idee die Schnittpunkte mit der x-Achse zu suchen.

Diese sind:

f(x) = -x²+b = 0

x² = b

x = ±√b

Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse. Schauen wir uns also an, wann die Fläche rechts der y-Achse den Wert 0,5 annimmt.

$$\int_0^{\sqrt b} -x^2 + b \;\;dx = 0,5$$

$$\left[-\frac13x^3 + bx \right]_0^{\sqrt b} = 0,5$$

$$-\frac13b^{\frac32} + b^{\frac32} = 0,5$$

$$\frac23b^{\frac32} = 0,5$$

$$b \approx 0,825$$

Grüße