Beim Hallenfußball schießt ein Stürmer auf das Tor. Wie lautet die Gleichung der Flugparabel?

Question

Aufgabe:

Beim Hallenfußball schießt ein Stürmer auf das Tor. Der Ball landet nach einem Parabelflug genau auf der 50 m entfernten Torlinie. Seine Gipfelhöhe beträgt 12,5 m.

a) Wie lautet die Gleichung der Flugparabel?

b) Hat der 3 m vor dem Tor stehende Torwart eine Abwehrchance? Er kommt mit der Hand 2,70 m hoch.

c) Unter welchem Winkel α wurde der Ball abgeschossen?

d) Der Abschusswinkel soll vergrößert werden. Welches ist der maximal mögliche Wert für α. Der Ball soll wieder auf der Torlinie landen (Hallenhöhe 15 m).

Comments

a) Ansatz f(x)=a/50(x-50). (25|12,5) einsetzen und nach a auflösen: a= - 1/50. Die Gleichung der Flugparabel lautet f(x)= - x/50(x-50).

Answer 1

a)

f(x) = - 12.5/25^2·x·(x - 50) = x - 0.02·x^2

b)

f(47) = 2.82

c)

arctan(f'(0)) = 45°

f2(x) = - 15/25^2·x·(x - 50) = 1.2·x - 0.024·x^2

arctan(f2'(0)) = 50.19°

Answer 2

Morgen ;),

Die Bedingung (0|50) kannst Du nicht sicher ablesen. Wird sogar falsch sein.

Nimm lieber folgende Bedingungen:

f(0)=0            (Punkt)

f(47) = 12,5  (Punkt)

f'(47) = 0       (Bedingung für Hochpunkt)

Damit können wir nun ein Gleichungssystem aufstellen:

c = 0

2209a + 47b + c = 12,5

94a + b = 0

Dies löse nun:

f(x) = -25/4418*x² + 25/47*x

Alles klar?

Korrektur:

Du hattest mit Deinen Bedingungen recht (auch wenn falsch aufgeschrieben. Es muss (50|0) sein.)

f(0)=0

f(25)=12,5

f(50)=0

Ergibt:

c = 0

625a + 25b + c = 12,5

2500a + 50b + c = 0

Also f(x) = -0,02x^2 + x

Grüße

Comments

Bis zu den Bedingungen habe ich es verstanden, probleme habe ich aber leider bei der Rechnung... So weit bin ich jetzt mitgekommen.

Ableitungen:

\( \begin{array}{l} f(x)=a x^{2}+b x+c \\ f^{\prime}(x)=2 a x+b \end{array} \)

Bedingungen:

I \( f(0)=0 \quad \) (Punht) \( \Leftrightarrow \quad c=0 \)
II \( f(47)=12,5( \) Punkt \( ) \Leftrightarrow 2209 a+47 b+c=12 \)
II \( f^{\prime}(47)=0( \) Hochpunkt \( \Leftrightarrow 94 a+b=0 \)

Wie ich aber die Rechnung hinbekomme, das ist immer noch ein Rätsel. Wo kommt auf einmal die -25 her? Sollte ich sie mir selber ableiten, um es ausrechnen zu können?

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Du schriebst:

1. Hochpunkt 12,5m

Das ist insofern falsch, als dass es nur das Maximum ist, es fehlt die erste Koordinate, die ein Punkt ja auch noch hat. Richtig wäre hier wegen der Symmetrie der Parabel:

1. Hochpunkt \(\left(25\,\text{m}\,|\,12.5\,\text{m} \right).\)

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Wie komme ich denn zu dieser rechnung? -> f(x) = -0,02x² + x
Was soll ich damit rechnen, um es raus zu bekommen? Ist das schon meine gesuchte Gleichung? Hilfeee :( Ich will es ja verstehen können...

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Ja, das ist Deine gesuchte Gleichung.

Das Gleichungssystem, welches sich aus den Bedingungen ergibt, ist oben aufgestellt. Dieses Gleichungssystem gilt es zu lösen. Tust Du dies, erhältst Du a = -0,02, b = 1 und c = 0, was zu der Lösung führt.

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Alles klar, aber wie soll ich es lösen?

Die erste bedingung ist klar (c=0) , ich muss aber irgendwie a und b ausrechnen.
Ich habe jetzt versucht, alleine a auszurechnen, aber es kam eine Katastrophe raus.

Der weg zum Ergebnis ist mir wichtig, da ich nicht weiß wie ich zum a und b komme :(

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Fast richtig! :)

Es ist allerdings 12,5*(-2) = -25 und schon hast Du alles richtig :).

Answer 3

Antwort mit KI erzeugt

a) Wie lautet die Gleichung der Flugparabel?

Um die Gleichung der Flugparabel zu finden, nehmen wir an, dass der Abschusspunkt des Balls bei \( (0,0) \) liegt und dass der Scheitelpunkt der Parabel bei \( (25, 12,5) \) erreicht wird. Die allgemeine Form der Parabelgleichung lautet:

\( y = ax^2 + bx + c \)

Da der Abschusspunkt bei \( (0,0) \) liegt, wissen wir \( c = 0 \). Der Scheitelpunkt der Parabel (\( 25, 12,5 \)) gibt uns die Informationen, die wir benötigen, um \( a \) und \( b \) zu berechnen.

Der Scheitelpunkt der Parabel wird durch:

\( x = -\frac{b}{2a} \)

Es bedeutet, dass:

\( 25 = -\frac{b}{2a} \)

Zusätzlich wissen wir, dass die Parabel durch den Punkt \( (50, 0) \) verläuft (d.h., der Ball landet bei \( x = 50 \)), daher:

\( 0 = a(50)^2 + b(50) \)

Diese Gleichung können wir lösen:

\( 0 = 2500a + 50b \)

\( b = -50a \)

Setzen wir \( b = -50a \) in die Gleichung des Scheitelpunkts ein:

\( 25 = -\frac{-50a}{2a} \)

\( 25 = \frac{50}{2} \)

\( 50 = 50 \)

Jetzt setzen wir \( b = -50a \) in die Parabelgleichung ein:

\( y = ax^2 - 50ax \)

Da der Scheitelpunkt \( (25, 12,5) \) ist, setzen wir diese Werte ein, um \( a \) zu bestimmen:

\( 12.5 = a(25)^2 - 50a(25) \)

\( 12.5 = 625a - 1250a \)

\( 12.5 = -625a \)

\( a = -\frac{12.5}{625} \)

\( a = -0.02 \)

Somit ist die Gleichung der Flugparabel:

\( y = -0.02x^2 + x \)

b) Hat der 3 m vor dem Tor stehende Torwart eine Abwehrchance? Er kommt mit der Hand 2,70 m hoch.

Der Torwart steht 3 m vor dem Tor, also bei \( x = 47 \) (da das Tor bei \( x=50 \) ist). Wir setzen \( x = 47 \) in die Parabelgleichung ein, um die Höhe des Balls in diesem Punkt zu berechnen:

\( y = -0.02x^2 + x \)

\( y = -0.02(47)^2 + 47 \)

\( y = -0.02(2209) + 47 \)

\( y = -44.18 + 47 \)

\( y = 2.82 \)

Der Ball ist 2.82 m hoch, wenn der Torwart versucht, ihn abzuwehren. Da der Torwart 2.70 m hoch kommt, ist der Ball zu hoch, um abgewehrt werden zu können. Somit hat der Torwart keine Abwehrchance.

Answer 4

Ich würde mal die y-Achse genau in die Mitte zwischen Tor uns Abschusspunkt legen.

Dann hat die Parabel die Gleichung f(x) = a * x^2 + 12,5

und es ist f(25)=0 (Torlinie ! )

also

0 = a * 625 + 12,5 gibt a= - 0,02

damit f(x) = - 0,02x^2 + 12,5

Torwart steht bei x=22

also f(22) = 2,82

Der Ball ist 2,82m über ihm, er kommt aber nur bis 2,7. Also bekommt er ihn nicht.

Abschusswinkel . tan (alpha) = f ' (-25) mit f ' (x) = -0,04*x gibt
tan (alpha) = 0,88  also alpha=35,8° 

Hallenhöhe 15m, dann ist der Ansatz f(x)= a * x^2 + 15

mit f(25)=0 (Torlinie ! )  gibt das a=-0,024

dann f ' (x) = -0,048x   also tan(alpha)=-1,2

also alpha=50,2°

Lege dir ein Koordinatensystem dort hinein.

Am einfachsten fände ich es, wenn man den Gipfel der Flugbahn in den Punkt (0;12,5) legt.

Dann wird er Ball im Punkt ( -25; 0) abgeschossen und landet bei ( 25;0) auf der Torlinie.

Die Parabel durch diese drei Punkte hat den Scheitel in (0;12,5) , also eine

Gleichung von der Form y = a*x² + 12,5.

Setzt man einen der Punkte ein, so hat man

                              0 = a* 625 + 12,5

nach a auflösen gibt a= -0,02 .

Also hat die Parabel in diesem Koordinatensystem die Gleichung:

                  y = -0,02*x² +12,5

~plot~ -0.02*x^2+12,5;[[-35|35|0|15]] ~plot~

Der Torwart steht bei x=22.

Rechne mal den zugehörigen Parabelpunkt aus.

Answer 5

Unknown hat sich zwar schon korrigiert aber
es sind ein Teil der gestellten Fragen noch offen.

Meine Ableitung
f (x) = ax² + bx + c
f ' (x) = 2ax + b

Meine Bedingungen
1. Hochpunkt 12,5m
2. Erste Nullstelle (0|0)
3. Zweite Nullstelle (50|0)

f ( 0 ) = 0  => c = 0
f ´ ( 25 ) = 2 * a * 25 + b = 0  ( Hochpunkt / Maximum )
f ( 25 ) = a * 25^2 + b * 25 = 12.5

50 * a + b = 0
625 * a + 25 * b = 12.5

f ( x ) = -0.02 * x^2 + x

Torwart
f ( 47 ) = -0.02 * 47^2 + 47
f ( 47 ) = 2.82 m
An der Stelle x = 47 m ist der Ball in der Höhe 2.82

Abschußwinkel
f ´ ( 0 ) = 2 * ( -0.02 ) * 0 + 1
f ´( 0 ) = 1
tan ( 45 ) = 1
Der Ball wurde in einem Winkel von 45 ° abgeschossen.

Flugbahn bleibt die Parabel

Neue Bedingungen
1. Hochpunkt 15 m
2. Erste Nullstelle (0|0)
3. Zweite Nullstelle (50|0)

Jetzt müssen die Berechnungen mit diesen Werten
wiederholt werden.

mfg Georg

Comments

b.)
y = -0,02*x² +12,5
y ( 22 ) = -0.02 * 22^2 + 12.5
y ( 22 ) = 2.82 m
Bei x = 22 m ist der ball in der Höhe 2.82 m.
Der Torwart erreicht den Ball nicht mehr.

c.)
y ´( x ) = -0.04 * x
y ´( -25 ) =  -0.04 * -25 = 1
tan 1 entspricht 45 °

d.)

f ( 25 ) = 0 ( Torlinie )
f ( 0 ) = 15 ( max Höhe )

Scheitelpunkt
( 0 | 15 )
y ( x ) =  a * ( x - 0 ) ^2 + 15
y ( x ) =  a * x^2 + 15
( 25 | 0 )
y ( 25 ) = a * 25^2 + 15 = 0
a * 25^2 + 15 = 0
a = -0.024

y ( x ) = -0.024 * x^2 + 15

Bitte nachprüfen.

Nachtrag d.)
y ( x ) = -0.024 * x² + 15
y ´( x ) = - 0.048 * x
y ´( -25 ) = -0.048 * (-25) = 1.2
tan = 1.2 entspricht 50.19 °

Answer 6

Zu a:

Du hast sogar mehr gegeben :
a) Parabelform :

f(x) =ax^2+bx+c

f'(x) =2ax+b

Jetzt hast du die Punkte f(0) = 0 , f(50)= 0  f(25)=12,5 und sogar f'(25)=0

Reicht dir das?

b)

Fast richtig. Du hast ja jetzt deine Parabel. Berechne den Punkt ( 47|f(47) ). Der Punkt P(3|f(3) ) müsste es aber auch tun glaube ich.

c) Deine Idee ist richtig.

d) Bei d weiß ich grade nicht, außer ausprobieren.

Answer 7

Scheitelform der Parabel:

f(x) = a*(x-0)^2 +12,5 = a*x^2+12,5

P(25|0)

f(25) = 625 a+12,5

625 a+12,5=0

a ≈ - 0,02

f(x) = -0,02*x^2+12,5

f´(x) = - 0,04 x

f´(-25) = - 0,04 *( - 25)= 1

Abschusswinkel ist 45°, weil tan(45°)=1

mfG

Moliets

Answer 8

Lege das Koordinatensystem so fest, dass der höchste Punkt auf der y-Achse liegt.

Die Nullstellen der Parabel liegen dann bei -25 und +25. Der y-Wert für x=0 ist 12,5.

f(x)=a*(x-25)*(x+25)=a*(x^2-625)

12,5=a*(-625)

a=-1/50=-0,02

f(x)=-0,02x^2+12,5

:-)