Abstandsbestimmung Vektor Pyramide

Question

Ich habe noch Schwierigkeiten mit diesen Aufgaben: eine dreiseitige pyramide hat die grundfläche ABC mit A ( 2 2 3 ) B ( 0 -4 3 ) C ( 2 -2 1 )  und die Spitze S ( 7 -4 6,5 ) . Ich soll die Höhe berechnen. 

Ich habe es mit dem LGA gelöst 

-2 -6 0 0 

0 -4 -2 0 

Ich habe n1 = -3t , n2 = 2/3 t , n3 = -2t 

Also normalemvektor : ( -9/2/-6) 

Stimmt das? Bin mir etwas umsicher. 

Comments

Oh das müsste statt 2/3 t 1 sein 

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Normalenvektor ist beispielsweise (12, -4, 8), falls das Dreieck ABC mathekonform beschriftet ist,

denn Vektor AB und der Normalenvektor stehen senkrecht aufeinander, somit ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich Null:

(12, -4, 8) * (-2, -6, 0) = 12*(-2) + (-4)*(-6) + 8*0 = -24 + 24 + 0 = 0       q. e. d.

Answer 1

Hi,

Du hast die drei Punkte

\( \vec A=\left(\begin{matrix} 2\\2\\3 \end{matrix}\right) \)
\( \vec B=\left(\begin{matrix} 0\\-4\\3 \end{matrix}\right) \) und
\( \vec C=\left(\begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \)

Um den Normalenvektor zu bestimmen, berechnet man \( \vec {AB}=\vec A - \vec B \) und \( \vec {AC}=\vec A - \vec C \) und bildet mit diesen beiden Vektoren das Kreuzprodukt. Das ergibt den Normalnevektor.

Alternativ kannst Du auch das Gleichungssystem

$$ (1) \quad <\vec {AB}, \vec n>=0 $$
$$ (2) \quad <\vec {AC}, \vec n>=0 $$

lösen, wobei \( < , > \) das Skalrprodukt bedeutet. In beiden Fällen erhältst Du einen Vektor der proportional zu \( \left(\begin{matrix} 12\\-4\\8 \end{matrix}\right) \) ist.

Nachprüfen kannst Du das durch skalre Multiplikation mit \( \vec {AB} \) und \( \vec {AC} \)

Das letzte Kriterium erfüllt Dein Vektor nicht.