Ein Quader mit aufgesetzter Pyramide (Vektoren etc.)

Question

ich bin echt aufgeschmissen. Heute haben wir in Mathe ein Arbeitsblatt bekommen und am Dienstag muss ich 2-3 Aufgaben davon vortragen können. Leider bin ich eine totale Niete in Mathe und habe keine Ahnung.. Mein Scanner funktioniert momentan nicht und deswegen kann ich das Blatt nicht einscannen... -.- Ich habe mich eben mal an Paint gesetzt um die Skizze, die auf dem Zettel ist, einigermaßen nach "zumalen".

Dabei kam dann das bei raus: (ich hoffe das man es einigermaßen erkennen und nachvollziehen kann :S

(falls es Fragen/Unklarheiten gibt einfach fragen, ich habe ja die Orginalzeichnung vor meiner Nase)

Nun zum wichtigen:

Auf einen Quader mit der Grundfläche in der x₁-x₂-Ebene ist eine Pyramide mit folgenden Eckpunkten aufgesetzt: A(3|-3|7), B(3|3|7), C(-3|3|7), D(-3|-3|7) und S(0|0|13)

 

Nun die Aufgaben:

a) Die Ebene E₁ verläuft durch die Mitte der Pyramidenkanten SB bzw. SD und den Punkt C. Die Pyramidenkante AS liegt auf der Geraden g. (eigentlich sind die Striche bei SB, SD und AS über den Buchstaben, falls das wichtig ist).

1) Berechnen Sie eine Gleichung für die Ebene E₁ in Parameterform.

2) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an.

3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E₁ rechtwinklig schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E₁ in Koordinatenform.

 

b) 

1) Zeigen Sie, dass es sich bei der Pyramide ABCDS um eine quadratische Pyramide handelt, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide.

 

c) Die Dreiecksfläche BCS liegt in der Ebene E₂.

1) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E₂ in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Punkte F₁(0|1|11), F₂(1|2|9) und F₃(-1|2|9) in der Ebene E₂ liegen.

2) Zeigen Sie, dass das Dreieck F₁F₂F₃ gleichschenklig ist.

 

Wäre super wenn Ihr mir helfen könntet denn ich verstehe nur Bahnhof und im Internet habe ich bisher auch noch nichts hilfreiches gefunden :/.

Answer 1

 

A(3|-3|7), B(3|3|7), C(-3|3|7), D(-3|-3|7) und S(0|0|13)

a) Die Ebene E₁ verläuft durch die Mitte der Pyramidenkanten SB bzw. SD und den Punkt C. Die Pyramidenkante AS liegt auf der Geraden g. (eigentlich sind die Striche bei SB, SD und AS über den Buchstaben, falls das wichtig ist).

1) Berechnen Sie eine Gleichung für die Ebene E₁ in Parameterform.

MSB = 1/2 * ([0, 0, 13] + [3, 3, 7]) = [1.5, 1.5, 10]
MSD = 1/2 * ([0, 0, 13] + [-3, -3, 7]) = [-1.5, -1.5, 10]

E1: x = [-3, 3, 7] + r * ([1.5, 1.5, 10] - [-3, 3, 7]) + s * ([-1.5, -1.5, 10] - [-3, 3, 7])
E1: x = [-3, 3, 7] + r * ([4.5, -1.5, 3]) + s * ([1.5, -4.5, 3])

2) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an.

g: x = [3, -3, 7] + r * ([0, 0, 13] - [3, -3, 7])
g: x = [3, -3, 7] + r * ([-3, 3, 6])

3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E₁ rechtwinklig schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E₁ in Koordinatenform.

Zu zeigen ist hier das der Richtungsvektor von g zu beiden Richtungsvektoren von E1 senkrecht ist. Skalarprodukt muss also Null sein.

[-3, 3, 6] * [4.5, -1.5, 3] = 0
[-3, 3, 6] * [1.5, -4.5, 3] = 0

Ist also senkrecht und damit ist der Richtungsvektor von g ein Normalenvektor von E1.

-1/3 * [-3, 3, 6] = [1, -1, -2]

E1: x * [1, -1, -2] = [-3, 3, 7] * [1, -1, -2]
E1: x - y - 2z = -20

 

Schau mal ob du das soweit nachvollziehen kannst. 

Comments

 

b) 

1) Zeigen Sie, dass es sich bei der Pyramide ABCDS um eine quadratische Pyramide handelt, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

Die Vektoren AB, BC, CD und DA sind jeweils 6 LE lang und bilden rechte Winkel. Der Punkt S befindet sich über dem Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche.

2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide.

Wir könnten hier jetzt einfach die Formel für die Mantelfläche dieser Pyramide nehmen.

M = 2 * 6 * √(3^2 + 6^2) = 36·√5

Wir können aber auch mal einen sehr unkonventionellen Weg nehmen und mit der Vektorrechnung die Mantelfläche berechnen.

Dazu nehme ich 4 mal die Fläche des Dreiecks ABS

1/2 * |AB x AS| = 1/2 * |([3, 3, 7] - [3, -3, 7]) x ([0, 0, 13] - [3, -3, 7])| = 9·√5
A = 4 * 9·√5 = 36·√5

Letzte Rechnung kannst Du nur machen soweit ihr das Kreuzprodukt schon hattet.

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ok danke! :)

Nur eine Frage noch, wodurch ist denn jetzt bei a) 3) nachgewiesen, dass die Gerade g die Ebene E1 rechtwinklig schneidet?

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Wir wissen das beide Richtungsvektoren der Ebene zu der Geraden g senkrecht sind. Damit sind auch alle Linearkombinationen der beiden Richtungsvektoren senkrecht zur Geraden g. Verstehst du das so?