Wie berechne ich einen Wert eines Parameters, z.B. t, welcher die Fläche zweier Kurven teilt?

Question

folg. gegeben:

ft(x) = x^3 +(1+t)* x^2 + (1-2t)* x -t

f2(x) = x^3 +(1+2)* x^2 + (1-2*2)* x - 2

f-1/4(x) = x^3 +(1-(1/4))* x^2 + (1-2*(1/4))* x + 1/4

in der Aufgabe steht, ich soll den wert für t berechnen, für den Kt die von K-1/4 und K2 eingeschlossene Fläche halbiert.

Ich habe die Schnittpunkte zwischen K2 und K-1/4 herausgefunden und habe dann die Fläche, die die beiden Kurven einschließen durch Integration errechnet und halbiert aber wie bestimme ich jetzt dieses t?

Answer 1

F = der Wert der von dir ermittelten Fläche halbiert
a = Anfangspunkt Integration
b = Endpunkt Integration
f ( x ) bekannt

∫ f ( x ) dx ( Stammfunktion, dir ja bekannt )
∫ x³ +(1+t) * x² + (1-2t ) * x  - t  dx
x^4/4 + ( 1 + t ) * x^3 / 3 - ( 1 - 2t ) * x^2 / 2 - t * x

F = [ x^4/4 + ( 1 + t ) * x^3 / 3 - ( 1 - 2t ) * x^2 / 2 - t * x ]_a^b
F = b^4/4 + ( 1 + t ) * b^3 / 3 - ( 1 - 2t ) * b^2 / 2 - t * b - ( a^4/4 + ( 1 + t ) * a^3 / 3 - ( 1 - 2t ) * a^2 / 2 - t * a )
F = b^4/4 + ( 1 + t ) * b^3 / 3 - ( 1 - 2t ) * b^2 / 2 - t * b - a^4/4 - ( 1 + t ) * a^3 / 3 + ( 1 - 2t ) * a^2 / 2 + t * a )
F = b^4/4 - a^4/4  + b^3 / 3  + t * b^3 / 3 - b^2 / 2 + 2t *b^2 /2 - t * b - a^3/ 3 - t * a^3 /3 + a^2 / 2 - 2t * a^2 / 2 + t * a

F = b^4/4 - a^4/4 + b^3 / 3 - b^2 / 2 - a^3/ 3 + a^2 / 2
+ t * b^3 / 3 + 2t *b^2 /2 - t * b - t * a^3 /3 - 2t * a^2 / 2 + t * a
mal ein bißchen substituieren
FAZ  = b^4/4 - a^4/4 + b^3 / 3 - b^2 / 2 - a^3/ 3 + a^2 / 2
F = FAZ
+ t * b^3 / 3
+ 2t *b^2 /2
- t * b
- t * a^3 /3
- 2t * a^2 / 2
+ t * a
t ausklammern
F = FAZ + t * (  b^3 / 3 + 2 *b^2 /2   - b  - a^3 /3  - 2 * a^2 / 2  + a )
mal ein bißchen substituieren
FBZ =  (  b^3 / 3 + 2 *b^2 /2   - b  - a^3 /3  - 2 * a^2 / 2  + a )
F = FAZ + t * FBZ
t * FBZ = F - FAZ
t = ( F - FAZ ) / FBZ

Der grundsätzliche Lösungsweg dürfte richtig sein.
Du kannst mir die Werte für F, a und b einmal mitteilen.
Dann kontrolliere ich das Ganze einmal.

Comments

So ganz stimmt die Lösung nicht.
Ich denke aber so einiges in der Rechnung hat dir
genutzt.

Mit meinem Matheprogramm habe ich berechnet
a = 1 - √ 2
b = √ 2 + 1
Fläche 6 * √ 2
F = 3 * √ 2

Jetzt wird t gesucht, aber es ist die Differenzfunktion zu
einer der beiden Funktionen z.B. t = 2 welche dann F
ergibt
F = ∫_a^b  f ( t ) - f ( 2 ) dx
t = 7 / 8

Ich hoffe du hast ein Matheprogramm, welches dir
die ganzen Rechnungen abnehmen kann.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Mit meinem Matheprogramm habe ich berechnet ...

Ich hoffe du hast ein Matheprogramm, welches dir
die ganzen Rechnungen abnehmen kann.

Um den Mittelwert von 2 und -1/4, also  t = 0,5*(2 - 1/4) = 7/8  auszurechnen brauchst du ein Matheprogramm ?

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@hj214
In der Aufgabenstellung war eine Funktionsschar sowie
2 Funktionen angegeben. Der Fragesteller hatte offensichtlich
die Schnittpunkte sowie die Fläche zwischen den Funktionen
bereits bereits berechnet.
Eine zu Fuß etwas mühevolle Angelegenheit.
Vielleicht stand ihm auch ein Matheprogramm zur Verfügung.
Das weiß ich nicht.
Ich habe daraufhin eine Lösung ersonnen und diese auch
zum Nachvollziehen eingestellt.
Der Fragesteller fand meine Lösung so gut das er mir einen
Stern gegeben hat. Insgesamt kann man auch durch die
Umformereien etwas lernen.

Nachher fand ich einen Denkfehler in meinen Annahmen und
habe diese unter Zuhilfenahme meines Matheprogramms.
korrigiert.

Dem Fragesteller habe ich zur Kontrolle die Schnittpunkte und
Fläche mitgeteilt sowie eine Lösung für t.

Was ist schlecht daran ? Gar nichts.

Falls dir die Lösung direkt schon in der Fragestellung klar gewesen ist
dann stell sie bitte als Lösung hier ein und mit Begründung.

Auf deine dämlichen Kommentare kann ich sonst verzichten.

Ich hätte gern deine eine Antwort auf meine Aussagen

Zudem : in dem Strang
https://www.mathelounge.de/150090/funktion-welche-zahlen-besitzt-zugehorige-schnittstellen
hast du ähnlich hochnäsig meine Antwort als falsch bezeichnet.
Ich hätte dort gern noch ein Eingeständnis das Berührpunkte auch
Schnittpunkte sind und das du dich geirrt hast.

An sonsten wäre es mir am liebsten : mach dich hier vom Acker.

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Mal etwas anderes: Theoretisch (ich habe das nicht genau untersucht) kann eine Kurve K_t die beiden gegebenen Kurven in insgesamt vier Punkten schneiden. Welche dieser vier Punkte bilden Anfang und Ende der Halbierungslinie? Oder gibt es weniger als vier Schnittpunkte? Dies müsste m.E. sicher auch geklärt werden.

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Der Gedanke kam mir heute morgen auch.
Nun war es so das ich für meine 2.Antwort
ein Matheprogramm genutzt habe.
Mit diesem Programm hatte ich mir die Graphen
auch zeichnen lassen.

Hieraus wurde ersichtlich das die 3 Kurven dieselben Schnittpunkte
haben.

mfg Georg

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Ok, dann bestimme ich mal für s ≠ t die Schnittstellen zweier Scharkurven:

f_s(x) - f_t(x) = 0

(s - t)*x² - 2*(s - t)*x - (s - t) = 0   |   :(s - t) ≠ 0

x² - 2*x - 1 = 0

x = (1 - √2)   oder   x = (1 + √2)

x ≈ -0.4   oder   x ≈ 2.4.

Sie sind beide nicht mehr vom Scharparameter abhängig und bestätigen den Plot.


(Weiter sind wegen 

f_t(x) = x³ + (1+t)*x² + (1-2t)*x - t

= x³ + x² + x + t*(x² -2*x - 1)

= x³ + x² + x + t*(x - (1 - √2))*(x - (1 + √2))

auch die y-Koordinaten (die hier allerdings nicht benötigt werden)
vom Scharparameter unabhängig.)

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Hallo Gast hh915,

  du hast zunächst nachgewiesen das die x-Werte  der
Schnittpunkte zweier beliebiger Scharkurven vom Parameter
unabhängig  sind und diese auch angegeben.Schön gemacht.

Desweiteren : Zitat " Weiter sind auch die y-Koordinaten "
( nach längerer Herleitung )
" vom Scharparameter unabhängig."

Dies war aber bereits deine Eingangsvoraussetzung

f_s(x) - f_t(x) = 0

y_s = y_t

Mich interessiert an der ganzen Aufgabenstellung
" Wie berechne ich ... "  nur noch:

- sind Berechnungen notwendig oder kann man

- bereits ohne jegliche Berechnung die Lösung
t = 7/8 aus der Aufgabestellung erkennen.
Diese soll ja nach der Aussage von hj214 sofort
ersichtlich sein.

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Hm... ich sehe noch nicht, warum mit y_s = y_t bereits die Unabhängigkeit von den Scharparametern vorausgesetzt wird. Aber wie dem auch sei: Wie man von vornherein die Lösung "sehen" kann, weiß ich nicht, ich bin aber zuversichtlich, dass dem Lösungsweg noch Vereinfachungspotential innewohnt.

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So, jetzt mal was zur mangelnden Offensichtlichkeit:

Die Formel für die noch vorzeichenbehaftete Einschlussfläche zweier beliebiger Kurven der gegebenen Schar  lässt sich (mindestens) vereinfachen zu:

$$ A_{s,t}=\left(s-t\right)\cdot\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}\left(x^{2}-2\cdot x-1\right)\,\textrm{d}x $$

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Für deine Schnittpunktberechnung gilt doch
S ( xt | yt ) = S ( xs | ys )
xt = xs und yt = ys
Dann hast du Nachweis für beliebige t und s durchgeführt.

Du hättest auch den Nachweis für den Parameter u
S ( xt | yt ) = S ( xu | yu )
xt = xu und yt = yu
erbringen können. 

Also ist
xt = xs = xu ....usw
yt = ys = yu ... usw
Die Schnittpunkte sind also unabhängig vom Parameter s,t,u ...

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Dir gelang es  eine einfache Formel zur Berechnung der
Differenzfläche zwischen den Parametern s und t
aufzustellen.
A = ( s - t ) * Integral ( ohne s oder t )

Gefragt war nach der Halbierung der Fläche.
Ich nenne den Parameter dieser Funktion einmal u.
A/2  = ( s - u ) * Integral ( ohne s oder u )

Daraus ergibt sich ( der Wert des Integrals kann entfallen )
( s - t ) =  2 * ( s - u )
s - t = 2s - 2u
2u -= s + t
u = ( s + t ) / 2

Damit müßten wir  es haben.