Bestimmen Sie die Zahl c c c so, dass der Graph der Funktion f f f mit f(x)=−12x2+2cx f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+2 c x f(x)=−21x2+2cx mit der x x x-Achse eine Fläche von 144 FE 144 ~\mathrm{FE} 144 FE einschließt.
Thema: Integral - Berechnung begrenzter Flächen
Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu bestimmen:
−12x2+2cx=x(−12x+2c)=0-\frac12x^2+2cx = x\left(-\frac12x+2c\right) = 0−21x2+2cx=x(−21x+2c)=0
x1=0x_1 = 0x1=0
x2=4cx_2 = 4cx2=4c
∫04c−12x2+2cx dx=144[−16x3+cx2]04c=144−16(4c)3+c∗(4c)2=144−646c3+16c3=144−646c3+16 · 66c3=144326c3=144163c3=144c3=27c=3 \int_0^{4c} -\frac12x^2+2cx \;dx = 144 \\ \left[-\frac16x^3+cx^2\right]_0^{4c} = 144 \\ -\frac16(4c)^3 + c*(4c)^2 = 144 \\ -\frac{64}{6}c^3 + 16c^3 = 144 \\ -\frac{64}{6}c^3 + \frac{16·6}{6}c^3 = 144 \\ \frac{32}{6}c^3 = 144 \\ \frac{16}{3}c^3 = 144 \\ c^3 = 27 \\ c = 3 ∫04c−21x2+2cxdx=144[−61x3+cx2]04c=144−61(4c)3+c∗(4c)2=144−664c3+16c3=144−664c3+616 · 6c3=144632c3=144316c3=144c3=27c=3
Alles klar?
Grüße
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