Skalierung des Koordinatensystems so, dass die Fläche die der Graph mit der x-Achse einschließt den Flächeninhalt A hat

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad \( n \). Vervollständigen Sie die Skalierung des Koordinatensystems so, dass die Fläche, der \( x \)-Achse einschließt, den Flächeninhalt A hat.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Die Parabel hat den Scheitel bei (a;3) und eine Nullstelle bei x=0,

die andere bei x=2a.

Also berechne: Integral von o bis 2a über (-3/a^2)(x-a)^2 + 3    dx

Das gibt 4a.  Also ist a=1 und somit die Gleichung

f(x) = -3(x-1)^2 + 3 . Skalierung so, dass Scheitel bei x=1 liegt.

Sieht so aus:  ~plot~ -3(x-1)^2+3;[[0|3|-1|5]] ~plot~

Comments

Und wieso ist der Scheitelpunkt bei (a,3)? Das verstehe ich nicht , ich dachte wir müssen es mit steckaufgaben lösen

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Und wie kommst du auf x=2a? Ich verstehe das nicht , könntest du es mir nochmal erklären aber einfacher wenn es geht?

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Offenbar hat der Scheitelpunkt die y-Koordinate 3.

Seine x-Koordinate erkennt man nicht, weil die Skalierung

der x-Achse fehlt. Deshalb habe ich die mal a genannt.

Damit hat die Parabel eine Gleichung von der Form

f(x) = b* (x-a)^2 + 3

Da (0;0) ein Punkt der Parabel ist gilt f(0)=0

==>  0 = b(0-a)^2 +3  = b*a^2  + 3

==>  -3 = b*a^2   ==>  b= -3/a^2 .

Also f(x) =  -3/a^2 * (x-a)^2 + 3 = (-3/a^2)*x^2 - (6/a)x

Das Integral geht ja von 0 bis zur 2. Nullstelle.

Da a genau in der Mitte zwischen den beiden

Nullstellen ist, ist die zweite bei 2a.

Du musst also von 0 bis 2a integrieren und das gibt 4a.

Da das Integral gleich 4 sein soll, muss a=1 sein.

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danke , aber wie kommst du auf die zweite x Koordinate 2•a? Wieso sie 2?

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Wenn a in der Mitte zwischen 0 und der positiven Zahl b liegt,

dann ist b=2*a.

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Aber wieso 2? Es könnte doch auch 3 oder so sein . In der Mitte weißt du ja nicht wie groß a ist

Und wie kriege ich die Skalierung raus ? Ich dachte ich könnte dann steckbriefaufgaben bilden

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Und wie kommt man auf die Skalierung ?

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Und wieso hast du nicht für das a in der Mitte 3a oder 0,5 a genommen ?

Answer 2

Hallo,

die Parabel hat eine Nullstelle bei x=0 und eine unbekannte Nullstelle bei x=u.

f(x)=ax²+bx+c ist vorgegeben.

f(0)=0 → c=0

f(u)=0=au²+bu → u=-b/a

Nun ist noch der y-Wert y=3 des Hochpunktes angegeben.

Da Parabeln achsensymmetrisch sind, liegt der Hochpunkt bei x=0,5u.

f(0,5u)=3=a•0,25u²+b•0,5u

Außerdem ist das Integral von 0 bis u gleich 4.

Damit hast du genug Bedingungen.

:-)