Bestimmen Sie die Zahl so, dass der Graph der Funktion mit der x-Achse eine Fläche von 144 FE einschließt

Question

Bestimmen Sie die Zahl \( c \) so, dass der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+2 c x \) mit der \( x \)-Achse eine Fläche von \( 144 ~\mathrm{FE} \) einschließt.

Thema: Integral - Berechnung begrenzter Flächen

Answer 1

Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu bestimmen:

$$-\frac12x^2+2cx = x\left(-\frac12x+2c\right) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 4c$$

$$ \int_0^{4c} -\frac12x^2+2cx \;dx = 144 \\ \left[-\frac16x^3+cx^2\right]_0^{4c} = 144 \\ -\frac16(4c)^3 + c*(4c)^2 = 144 \\ -\frac{64}{6}c^3 + 16c^3 = 144 \\ -\frac{64}{6}c^3 + \frac{16·6}{6}c^3 = 144 \\ \frac{32}{6}c^3 = 144 \\ \frac{16}{3}c^3 = 144 \\ c^3 = 27 \\ c = 3 $$

Alles klar?

Grüße