Nullstelle von f(x)=x^3-4x-16.

Question

f(x)=x3-4x-16

Nicht einmal mein Taschenrechner findet eine :/ Ich weiß, dass es eine Nullstelle ungefähr bei 3,04 gibt. (Laut meinen Schulnotizen)

Aber wie soll man darauf kommen ?

- Ich kann hier nicht ausklammern.

- Ich kann hier nicht substituieren (denk ich mal)

- P/Q formel geht hier auch nicht.

Mir bleibt die Polynomdivision. Hierfür brauche ich eine Nullstelle..

Comments

Hi,

wie wärs mit einem Newton-Verfahren?

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$$ 0=x^3-4x-15$$

wäre glatt ganzzahlig lösbar ... vielleicht ein Abschreibfehler: schlampige 5 =6 ?

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Das schließe ich bei meinem Mathebuch nicht mehr aus.
Ich habe schon sehr viele Stunden nach Fehlern in meinen Rechnungen gesucht.. Dabei waren die Aufgaben im Buch falsch.
Selbst den Lösungen im Lösungsbuch ist nicht zu vertrauen...
Die Aufgabe habe ich richtig abgeschrieben.
Das Newtonverfahren wird in meinem Mathebuch nicht angesprochen.

Answer 1

Es gibt eine algebraische Lösung:

$$ 0=x^3-4x-16  $$
$$x=(u+v)$$
$$ 0=(u+v)^3-4(u+v)-16  $$
$$ 0=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-4(u+v)-16  $$
$$ 0=u^3+v^3+3(u+v)(uv)-4(u+v)-16  $$
$$ 0=u^3+v^3+(3(uv)-4)-16  $$
Annahme: $$ 0=3uv-4  $$
$$ 4=3uv  $$
$$ \frac43=uv  $$
$$ v=\frac4{3u}  $$
einsetzen:
$$ 0=u^3+v^3+(0)-16  $$
$$ 0=u^3+\left(\frac4{3u}\right)^3+(0)-16  $$
$$ 0=u^3+\left(\frac4{3}\right)^3\frac1{u^3}-16  $$ *u^3
$$ 0=u^6+\left(\frac4{3}\right)^3-16u^3  $$
$$ z=u^3$$
$$ 0=z^2-16z+\left(\frac4{3}\right)^3  $$
$$ z_{1,2}=8\pm \sqrt{8^2-\left(\frac4{3}\right)^3} $$
$$u=\sqrt[3]{z}$$
$$u=\sqrt[3]{8\pm \sqrt{8^2-\left(\frac4{3}\right)^3}}$$
$$ v=\frac4{3u}  $$
$$ v=\frac4{3\sqrt[3]{8\pm \sqrt{8^2-\left(\frac4{3}\right)^3}}}  $$
$$x=(u+v)$$
$$x=\sqrt[3]{8\pm \sqrt{8^2-\left(\frac4{3}\right)^3}}+\frac4{3\sqrt[3]{8\pm \sqrt{8^2-\left(\frac4{3}\right)^3}}}$$
Jetzt nur nich vertippen mit dem TR !!!

Comments

Danke ich schau mir das mal an :D

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Das obige Lösungsverfahren ist ein Teil der sogenannten Cardano-Formeln. Das wird heutzutage nur noch von Nerds verwendet und war in der Nachkriegszeit noch Abiturprüfungsinhalt. Ich gehe mal eher von einem Druckfehler im Buch aus.

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Die Lösungen der Gleichung sind:

x₁ = 3,04276
x₂ = -1,52138 + 1,71575·i
x₃ = -1,52138 - 1,71575·i

mittels Kubische Gleichungen Rechner online.

Answer 2

Hi,

schau Dir mal das Artikel von Unknown an. Dann wirst Du es schon verstehen :-)

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Viel Spaß!^^

Comments

Höre ich zum ersten mal!

Interessant. Anders geht es aber nicht oder? ^^

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Hmm nein also soweit ich es weiß nicht. Versuchs einfach mal mit dem Newton-Verfahren. Wenn Du nicht weiter kommst, dann frag einfach mal deinem Lehrer ;D

Ich muss jetzt schlafen^^

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Gute Nacht ;)