Lösungen der Gleichung (1-x)/√(x^2 -2x+5) = 3/5? Wurzeln auflösen

Question

Habe hier die Gleichung:

(1-x) / (steht ab hier alles unter der Wurzel: x^2 - 2x + 5) = 3/5

Mein erster Gedanke um das Wurzelzeichen weg zu bekommen war = quadrieren.
Allerdings erhalte ich so am ende Zahlen, die keinen Sinn ergeben oder nicht angegeben werden können, da nicht reell. Wie muss ich hier jetzt vorgehen? Sitze bestimmt schon eine Stunde dran und verstehe es einfach nicht!

Comments

Hi, meinen wir diese Gleichung:

$$ \frac { 1-x }{ \sqrt { x^2 - 2 \cdot x+5 } } = \frac { 3 }{ 5 } $$

---

Nach dem Quadrieren hätten wir

$$ \frac { x^2 - 2 \cdot x + 1 }{ x^2 - 2 \cdot x+5 } = \frac { 9 }{ 25 } $$

Das sieht einfach aus!

---

Weiter geht es mit

$$ \frac { x^2 - 2 \cdot x + 5 - 4 }{ x^2 - 2 \cdot x+5 } = \frac { 9 }{ 25 } $$
$$ 1 - \frac { 4 }{ x^2 - 2 \cdot x+5 } = \frac { 9 }{ 25 } $$
$$ - \frac { 4 }{ x^2 - 2 \cdot x+5 } = - \frac { 16 }{ 25 } $$
$$ \frac { 1 }{ x^2 - 2 \cdot x+5 } = \frac { 4 }{ 25 } $$
$$ x^2 - 2 \cdot x+5 = \frac { 25 }{ 4 } $$
$$ x^2 - 2 \cdot x - \frac { 5 }{ 4 } = 0 $$

Answer 1

Vor allem würde ich aufpassen, dass unter der Wurzel keine negativen Werte entstehen und Null darfs auch nicht werden!

Passiert hier nicht, aber prüfen muss man trotzdem !

$$ x_{1,2} = \frac17 (8 \pm \sqrt{134})$$

Comments

Was sind denn das für Zahlen?

---

Das passiert, wenn Leute ohne Taschenrechner solche Gleichungen lösen.

Das nennt sich exakte Lösung, während der abgerissene Kommaschwanz, den der TR produziert, mathematisch gesehen eine Näherungslösung darstellt.

---

Na ja, ich habe die Gleichung im Kopf berechnet und ein anderes Ergebnis bekommen. Vielleicht habe ich mich verrechnet...

---

wolfram sagt : x=-1/2

irgendwo hab ich mich wohl vergallopiert nehme ich an ...

---

So ist es korrekt:
$$ \frac{(1-x)}{ \sqrt{ x^2-2 x+5} }= \frac35 $$
$$ {5(1-x)}={ 3\sqrt{ x^2-2 x+5} } $$
$$ {25(1-2x+x^2)}=9\cdot( x^2-2 x+5) $$
$$ {25-50x+25x^2}=9\cdot x^2-18 x+45$$
$$ 25-50x+16x^2=-18 x+45$$
$$ 25-32x+16x^2=+45$$
$$ -20-32x+16x^2=0$$
$$ -5-8x+4x^2=0$$
$$x_1=-\frac12$$
$$x_2=\frac52$$
Probe machen ... eine mögliche Lösung passt nicht

Answer 2

Du hast eig. keine Wurzel:

√(x²) = x

Ersetz das ;)

Comments

war nicht korrekt von mir angegeben. Da steht alles unter der Wurzel in der Klammer ^^

---

Ahso, sry. Hätte ich eig. erkennen sollen ^^

Answer 3

25(x^2 - 2x + 1) = 9(x^2 - 2x + 5)

25x^2 - 50x + 25 = 9x^2 - 18x + 45

16x^2 - 32x -20 = 0

4x^2 - 8x -5 = 0        | faktorisieren oder Formel für quadr. Glgen.

(2x + 1)(2x -5) = 0

x1 = -1/2, x2 = 2.5

Nun kontrollieren in der ursprünglichen Gleichung. Wir haben quadriert. Daher kann eine Scheinlösung dazugekommen sein. 

1.5/√(0.25 + 1 + 5) = 1.5/2.5 = 3/5 stimmt.

-1.5/√(2.25 -5+5) = -1.5/1.5 = -1 ≠ 3/5 stimmt nicht.

Lösung ist nur x = -1/2

Comments

Eine Frage zu dem Schritt : faktorisieren

Müsste es nicht 4(4x^2 - 8x -5 ) = 0 lauten?

Warum fällt das bei dir weg?

---

16x² - 32x -20 = 0     |:4

4x² - 8x -5 = 0        | faktorisieren oder Formel für quadr. Glgen.

Ich habe die Gleichung umgeformt, indem ich durch 4 dividiert habe. 

Bedenke 0/4 = 0.