Wie kann ich diese Funktion ableiten? f(x) = ( 5+2x) / √ (-3x)

Question

f(x) = ( 5+2x) / √ (-3x) 

Ich soll die lokalen Minima und Maxima hinsichtlich des Definitionsbereichs untersuchen dieser müsste D = {x ε ℝ | x<0} sein 

Wie leite ich diese Funktion ab? 

Comments

Wenn du das meinst, womit Smitty gerechnet hat, musst du Klammern setzen.

D.h. statt

f(x) = 5+2x / √-3x

muss es f(x) = ( 5+2x) / √ (-3x) heissen.  

Dein Definitionsbereich passt so auch zur Frage. 

Ich habe das oben mal so korrigiert, damit die Antwort zur Frage passt. 

Nutze zur Kontrolle und als Hinweis, wohin deine Rechnung gehen soll: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+(+5%2B2x)+%2F+√+(-3x) Gezeichnet wird dort allerdings auch noch ein Imaginärteil (rot). Den solltest du ignorieren. Nur die blaue Kurve ist für dich interessant. Erste Ableitung: 

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Ich glaube, dass ich bei mir irgendein Fehler drin habe. 

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Du solltest vermultich im Zähler eine Differenz und nicht ein Produkt haben. 

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Gut also ich komme jetzt auf folgende Ableitung:

die ist richtig nur hab ich keine Ahnung wie ich die richtig kürze 

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Du musst oben 2 Brüche addieren. (nicht kürzen!) 

Ziel ist es den Bruch auf eine Form zu bringen, in der du nur noch den Zähler 0 setzen musst. 

Alternative: 

Direkt den Zähler Null setzen, 

mit dem Hauptnenner multiplizieren,

dann

x bestimmen. 

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Das mit dem Brüche addieren verstehe ich leider nicht welche Brüche und wo nehme ich die her?

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Nimm Alternative:

Direkt den Zähler Null setzen,  (ist dasselbe, wie wenn du beim Minus ein " =  " hinschreibst.)

mit dem Hauptnenner (2 * √(-x)) multiplizieren,

dann

x bestimmen.

Answer 1

$$f(x)=\frac{5+2x}{\sqrt{-3x}}$$

Dafür brauchst du die Quotientenregel. $$f´(x)=\frac{u´\cdot v-u\cdot v´}{v^2}\\u=2x+5\\u´=2\\v=\sqrt{-3x}={(-3x)}^{\frac{1}{2}}\\v´=\frac{1}{2}\cdot {(-3x)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-3)\\f´(x)=\frac{2\cdot \sqrt{-3x}-(2x+5)\cdot \frac{1}{2}\cdot {(-3x)}^{-\frac{1}{2}}\cdot -3}{-3x}$$

Das dürfte die Ableitung sein. Das kann man sicherlich noch irgendwie vereinfachen.

EDIT: Ich habe v´ verbessert. Dort muss man noch von der Kettenregel Gebrauch machen.

Gruß

Smitty

Answer 2

Ohne Gewähr aber mit gleichem Resultat wie Wolframalpha: 

f(x) = ( 5+2x) / √ (3(-x))

f(x) = ( 5+2x) *  (3(-x))^{-1/2}

f(x) = 5/√3 * (-x)^{-1/2} + 2/√(3) *(-x)^{1/2} 

f '(x) = 5/√3 *(-1/2)*(-x)^{-3/2}*(-1) + 2/√3 * (1/2) (-x)^{-1/2} * (-1) 

= 5/(2√3 √(-x)^3) - (2x) /(2 √3 √(-x)^3) 

=   (5 - 2x) / (2 √3 √(-x)^3) 

Damit die Ableitung 0 ist, müsste der Zähler 0 sein.

5 - 2x = 0 ==> 2.5 = x.

D.h. im Definitionsbereich D hat f keine Extremas. 

Comments

Eine Frage wäre noch, ob du überhaupt ableiten musst, um Extrema auszuschliessen. Kannst du vielleicht auf andere Art zeigen, dass die Funktion im ganzen Definitionsbereich monoton steigend ist?

Hier mal die Graphen von Zähler, Nenner und Quotient. 

~plot~ ( 5+2x) ; sqrt (-3x) ; ( 5+2x) / sqrt (-3x) ~plot~

Monotonie z.B. hier https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen

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Also einfach den linksseitigen Grenzwert x -> 0 der = ∞ ist und dann ist die Funktion im Intervall ]-∞ ; 0[ monoton steigend ich weiß nur nicht ob das in einer Prüfung so als Beweis reichen würden, dass es keine lokalen Extrema gibt

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Zeige, dass f(x) < f(x+h) , für alle h>0 und x und h +x Element D. 

Die obigen Voraussetzungen (alle h>0 und x und h +x Element D) seien erfüllt.

f(x) = ( 5+2x) / √ (3(-x))

f(x + h) = ( 5+2(x+h)) / √ (3(-(x+h)))       | Zähler verkleinern

> ( 5+2x) / √ (3(-(x+h)))                     | Nenner vergrössern. 

> ( 5+2x) / √ (3(-x))

Fazit. f ist in ganz D streng monoton steigend. D.h. es gibt in D keine Extremas.