Gegeben: \( x(t)=0,6\left(e^{-2 t}-e^{-5}\right) \) stark gedämpfte Schwingung \( x \) Amplitude, \( t \) Zeit, \( t \geq 0 \) Gesucht: Wann, das heißt zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit \( \mathrm{v}\left(\mathrm{v}=\frac{d x}{d t}=\dot{x}\right) \) gleich Null?
x ( t ) = 0.6 * e^{-2t} - 0.6 * e^{-5t}
Allgemein : [ e^term ] ´ = e^term * ( term ´ )x ´ ( t ) = 0.6 * e^{-2t} * (-2) - 0.6 * e^{-5t} * (-5)x ´ ( t ) = -1.2 * e^{-2t} + 3 * e^{-5t}
-1.2 * e^{-2t} + 3 * e^{-5t} = 0Lösungsweg entweder jetzt mit ln ( ) oder1.2 * e^{-2t} = 3 * e^{-5t} ( 1.2 * e^{-2t} ) / ( 3 * e^{-5t} ) = 10.4 * e^{-2t} / e^{-5t} = 1e^{-2t-[-5t]} )= 1 / 0.4e^{3t} = 2.5 | ln ( )3t = ln ( 2.5 )t = 0.3054Probex ´ ( 0.3054 ) = -1.2 * e^{-2*0.3054} + 3 * e^{-5*0.3054} x ´( t ) = -0.6515 + 0.6515 = 0 | stimmt
-1.2 * e-2t + 3 * e-5t = 0 1.2 * e-2t = 3 * e-5t | ln ()ln ( 1.2 * e-2t ) = ln ( 3 * e-5t )ln ( 1.2) + ln (* e-2t ) = ln ( 3 ) + ln (e-5t ) ln ( 1.2) + t * ln (* e-2 ) = ln ( 3 ) + t * ln (e-5 ) t * ln (* e-2 ) - t * ln (e-5 ) = ln ( 3 ) - ln (1.2 )t * ( ln (* e-2 ) - ln (e-5 ) ) = ln ( 3 / 1.2 )t * ( -2 + 5 ) = ln ( 3 / 1.2 )t = ln ( 3 / 1.2 ) / 3t = 0.305
um Himmels willen - 0,6 ist doch eine Konstante!
in der Klammer steckt erst mal eine Summe.
die Ableitung von $$ e^{ax}$$ ist $$ a \cdot e^{ax}$$
x(t) = 0,6 ( e^-2t - e^-5t )
x'(t) = 0,6 ( -2*e^-2t + 5*e^-5t )
x'(t) = 0
0,6 ( -2*e^-2t + 5*e^-5t ) = 0
-2*e^-2t + 5*e^-5t = 0
-2*e^-2t = -5*e^-5t | * -0,5*e^5t
e^3t = 2,5
t = ln(2,5) / 3.
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