Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit v gleich Null? x(t) = 0,6 ( e^-2t - e^-5t)

Question

Gegeben: \( x(t)=0,6\left(e^{-2 t}-e^{-5}\right) \) stark gedämpfte Schwingung \( x \) Amplitude, \( t \) Zeit, \( t \geq 0 \) Gesucht: Wann, das heißt zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit \( \mathrm{v}\left(\mathrm{v}=\frac{d x}{d t}=\dot{x}\right) \) gleich Null?

Answer 1

x ( t ) = 0.6 * e^{-2t}  - 0.6 * e^{-5t}

Allgemein : [ e^term ] ´ = e^term * ( term ´ )

x ´ ( t ) =  0.6 * e^{-2t} * (-2)  - 0.6 * e^{-5t} * (-5)
x ´ ( t ) = -1.2 * e^{-2t}   + 3 * e^{-5t}

-1.2 * e^{-2t}   + 3 * e^{-5t} = 0
Lösungsweg entweder jetzt mit ln ( )

oder
1.2 * e^{-2t}  = 3 * e^{-5t}
( 1.2 * e^{-2t} ) / ( 3 * e^{-5t} ) = 1
0.4 * e^{-2t}  / e^{-5t}  = 1
e^{-2t-[-5t]} )= 1 / 0.4
e^{3t} = 2.5  | ln ( )
3t = ln ( 2.5 )
t = 0.3054
Probe
x ´ ( 0.3054 ) = -1.2 * e^{-2*0.3054}   + 3 * e^{-5*0.3054}
x ´( t ) = -0.6515 + 0.6515 = 0  | stimmt

Comments

-1.2 * e^-2t   + 3 * e^-5t = 0
Lösungsweg entweder jetzt mit ln ( )

Was meinst du damit ?

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-1.2 * e^-2t   + 3 * e^-5t = 0
1.2 * e^-2t   = 3 * e^-5t   | ln ()
ln ( 1.2 * e^-2t  )  = ln ( 3 * e^-5t   )
ln ( 1.2) + ln (* e^-2t  )  = ln ( 3 ) +  ln (e^-5t   )
ln ( 1.2) + t * ln (* e^-2  )  = ln ( 3 ) +  t * ln (e^-5 )
t * ln (* e^-2  )  - t * ln (e^-5 )  = ln ( 3 ) - ln (1.2 )
t * ( ln (* e^-2  )  - ln (e^-5 ) ) = ln ( 3 / 1.2 )
t * ( -2 + 5 ) =  ln ( 3 / 1.2 )
t = ln ( 3 / 1.2 ) / 3
t = 0.305

Answer 2

Natürlich musst Du x ableiten, um v zu bekommen. Das steht aber auch gleich daneben. Also mach das mal und setze v dann gleich null. Das wäre der Weg. Hakt es dann, teile mit, wie weit Du gekommen bist.

Comments

ich hab leider alles vergessen.
Aber anscheinendx(t) = 0,6 ( e^-2t - e^-5t)
x(t) = 0,6e^-2t -0,6e^-5t ->  x'(t) = ln 0,6 + (-2t) - ln 0,6 - 5t.. :(

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um Himmels willen - 0,6 ist doch eine Konstante!

in der Klammer steckt erst mal eine Summe.

die Ableitung von $$ e^{ax}$$ ist $$ a \cdot e^{ax}$$

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x(t) = 0,6 ( e^-2t - e^-5t )

x'(t) = 0,6 ( -2*e^-2t + 5*e^-5t )

x'(t) = 0

0,6 ( -2*e^-2t + 5*e^-5t ) = 0

-2*e^-2t + 5*e^-5t = 0

-2*e^-2t = -5*e^-5t   |   * -0,5*e^5t

e^3t = 2,5

t = ln(2,5) / 3.