Gegeben sind die Punkte A(1/2/5), B(-1/8/8), C(-7/5/10) und D(-5/-1/7).
a) Zeigen Sie, dass die Punkte A,B,C und D die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?
Bei einem Parallelogramm sind jeweils zwei der Seiten parallel und haben die gleiche Länge.
Parallelität: Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein.
AB = B - A = (-2|6|3)
BC = C - B = (-6|-3|2)
CD = D - C = (2|-6|-3)
DA = A - D = (6|3|-2)
Man sieht, dass AB parallel zu CD ist, da AB * (-1) = CD
BC ist parallel zu DA, da BC * (-1) = DA
Länge der Strecken:
|AB| = √(4 + 36 + 9) = √49 = 7 = |CD|
|BC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7 = |DA|
b) Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man untersuchen kann, ob ein Parallelogramm sogar ein Rechteck ist. Wenden Sie dieses Verfahren auf das gegebene Parallelogramm an.
Bei einem Rechteck müssen die Strecken senkrecht aufeinander stehen, das heißt, das Skalarprodukt muss = 0 sein.
AB * BC = -2 * (-6) + 6 * (-3) + 2 * 3 = 12 - 18 + 6 = 0 | AB steht senkrecht auf BC
BC * CD = -6 * 2 + (-3) * (-6) + 2 * (-3) = -12 + 18 - 6 = 0 | BC steht senkrecht auf CD
CD * DA = 2 * 6 + (-6) * 3 + (-3) * (-2) = 12 - 18 + 6 = 0 | CD steht senkrecht auf DA
DA * AB = 6 * (-2) + 3 * 6 + (-2) * 3 = -12 + 18 - 6 = 0 | DA steht senkrecht auf AB
Wir haben also in unserem Parallelogramm nur rechte Winkel, daher handelt es sich um ein Rechteck bzw. sogar um ein Quadrat, da zusätzlich alle Seiten gleich lang sind.
Besten Gruß
