Induktion Aufgabe Lösungsweg

Question

 4n3

– n ist durch 3 teilbar für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 4·03

– 0 = 0 ist durch 3 ohne Rest teilbar.

Induktionsschluss:

4(n+1)3– (n+1) = 4(n3 + 3n2 + 3n + 1) – n – 1

= 4n3+ 12n2+ 12n + 4 – n – 1

= 4n3+ 12n2+ 11n + 3

= 4n3– n + 12n2+ 12n + 3 !!!!!!

= (4n3– n) + 3(4n2 + 4n + 1)

ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung

und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist

Das ist die Lösung von der Aufgabe die ich lösen sollte. Ich verstehe es eigentlich nur den Teil an dem die Ausrufezeichen sind nicht. Davor steht 11n und anschließend 12n wieso ?

Comments

11n wurde ersetzt durch  -n + 12n.

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Der Lehrer hat ungeschickt zusammengefasst um es anschließend wieder zu trennen.

Answer 1

4·n^3 - n ist durch 3 teilbar für n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0

4·0^3 - 0 = 0 und 0 ist ohne Rest durch 3 teilbar

Induktionsschritt: n --> n + 1

4·(n + 1)^3 - (n + 1) ist durch 3 teilbar

4·(n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) - (n + 1)

4·n^3 + 12·n^2 + 12·n + 4 - n - 1

4·n^3 - n + 12·n^2 + 12·n + 3

4·n^3 - n + 3·(4·n^2 + 4·n + 1)

Beide Summanden sind mit Sicherheit durch 3 teilbar. Damit ist auch die Summe durch 3 teilbar.