Logarithmus Gleichung lösen: log(10x-100) = log(x-10) + ln(x-5)

Question

Hallo ich habe folgende Logarithmus Gleichung:

$$\log _{ 10 }{ \left( 10x-100 \right) =\log _{ 10 }{ \left( x-10 \right) +\ln { \left( x-5 \right)  }  }  } \\ =\\ \log _{ 10 }{ \left( 10x-100 \right) =\log _{ 10 }{ \left( x-10 \right) +\frac { \log _{ 10 }{ \left( x-5 \right)  }  }{ \log _{ 10 }{ e }  }  }  } \\ =$$

Meine Idee war jetzt den letzten Logarithmus auch in den 10 Log zu wechseln. Wie kann ich nun weiter vorgehen?

Comments

Klammere links 10 aus und mache aus dem Lgarithmus des Produkts eine Summe von Logarithmen.

Answer 1

Hallo Christoph,

ich würde vorschlagen, etwas anders anzufangen. Beachte doch, dass man

log₁₀(10x−100) 

in eine Summe von zwei Logarithmen verwandeln kann, weil man aus (10 x - 100)  den Faktor 10 ausklammern kann !

Comments

Ja soweit so gut aber was mache ich dann auf der rechten seite mit den zwei unterschiedlichen Logarithmen?

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Naja, der eine der Logarithmen (links und rechts identisch) fällt doch dann aus der Gleichung raus, und es verbleibt die Gleichung

log₁₀(10) = ln(x-5)

Und jetzt schau dir mal den linken Logarithmus ganz genau an !

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ja das der linke 1 ist, ist klar aber wieso fallen sie andern beiden einfach raus?

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Weil man aus einer Gleichung der Form  A + B = A + C  auf  B = C  schließen kann.

Im vorliegenden Fall  war  A = log₁₀(x-10) , B = log₁₀(10) = 1  und  C =  ln(x-5) .