Wie ist die Herleitung für 2/x = 2x^-1

Question

ich bin momentan am Ableiten von Funktionen.

Die erste Aufgabe die ich lösen musste war :

f(x)=2/X ⇒ 2X⁻¹                    

     =2(nXⁿ⁻¹⁾ = 2(−X⁻²) 

     =−2x⁻² =−2/x²  

     ⇒ f'(x) = −2/x² 

- Wie leite ich mir 2/X = 2X⁻¹ her, bzw. welche Rechenoperationen muss ich durchführen, um 2/X in 2X⁻¹     umzuwandeln ?

Die Zweite Aufgabe ist :

f(x)=√(X)/2 ⇒ f'(x)=1/( 4*√(X) )

- Könnte ich bei diesem Fall folgendermaßen ableiten ? 

→ f(x)=√(X)/n ⇒ f'(x)=1/( 2*n*√(X) )

Ich hoffe die Fragen sind klar. Schon mal danke im voraus !

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1 = x^0

x^0 * x^2 = x^{0+2} = x^2

1 / x^2 = x^0 / x^2 = x^{0-2} = x^{-2}

Answer 1

Hallo N.Ko,

f(x) = 2/x = 2 * x^-1
Nun den gesamten Term mit dem Exponenten von x multiplizieren und dann den Exponenten von x um 1 verringern:
f'(x) = -1 * 2 * x^-2 = -2 * x^-2 = -2/x²

f(x) = (√x)/2 = x^0,5 / 2 = x^0,5 * 1/2

Gleiches Vorgehen:

f'(x) = 0,5 * x^-0,5 * 1/2 = 0,25 * x^-0,5 = 0,25 * 1/x^0,5 = 0,25 * 1/√x

was

f'(x) = 1/( 4*√(X) )

entspricht.

Ich hoffe, das hilft ein wenig :-)

Besten Gruß

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Hallo und danke für die schnelle Antwort!

Die Lösungen an sich habe ich, mich interessiert eher wieso 2/x = 2*x⁻¹ ist. Also der Weg vom Bruch zum Produkt mit Exponent.

Und ob ich allgemein sagen kann das : f(x)=√(x)/n abgeleitet f'(x)=1/( 2*n*√(X) ) ist?

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Es gibt die folgende Konvention:

1/x = x^-1

1/x² = x^-2

1/x³ = x^-3

etc.

Also: Mit einem negativem Vorzeichen im Exponenten landet eine Potenz, die sich vorher im Zähler eines Bruchs befand, im Nenner - dann mit positivem Vorzeichen.

f(x) = √(x)/n = x^1/2 * n^-1

f'(x) = 1/2 * x^-1/2 * n^-1 = 1/2 * 1/(x^1/2 * n) = 1/(2 * √x * n)

Yep, scheint so zu sein :-D

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Sehr gern geschehen :-D

Viel Erfolg!!

Answer 2

Die Gleichheit 1/x = x^{-1} entspricht den Potenzregeln und kann auch damit hergeleitet werden:

$$ \frac { 1 }{ x } = \frac { x^{0} }{ x^{1} } = \frac { x^{0} }{ x^{1} } \cdot \frac { x^{-1} }{ x^{-1} } = \frac { x^{0-1} }{ x^{1-1} } = \frac { x^{-1} }{ x^{0} } = \frac { x^{-1} }{ 1 } = x^{-1}. $$

Allerdings darf man das als Ergebnis der Mittelstufe betrachten und als elementares Grundwissen voraussetzen.

Auch √x = x^{1/2} lässt sich so begründen.

Comments

Zitat : " Allerdings darf man das als Ergebnis der Mittelstufe
betrachten  und als elementares Grundwissen voraussetzen."

Dem Fragesteller war dies offensichtlich nicht klar sonst hätte
er ja nicht gefragt. Logisch oder?

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Eigentlich wollte ich nur zum Ausdruck bringen, dass $$ \frac { 1 }{ x } = x^{-1} $$ als ein Ergebnis früherer Schuljahre im Rahmen der Differentialrechnung als bekannt vorausgesetzt werden kann und ohne Herleitung verwendet werden darf.

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Brucybabe hat eine Antwort gegeben, ich habe eine Antwort gegeben
( ganz oben ) und du hast eine Antwort gegeben . Dann wollen wir hoffen
das die Antworten den Fragesteller erleuchtet haben.

Dann sollten wir das Thema auch nicht weiter auswalzen.

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ja mir hat das ganze schon geholfen, ich mache momentan mein Abitur am Abendgymnasium nach, und mir war tatsächlich nicht bewusst das das Mittelstufenwissen ist.

Vielen Dank noch mal an euch!

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Gut. Benutzt ihr ein Schulbuch oder eine Formelsammlung (z. B. das Tafelwerk)? Im Schulbuch finden sich oft kleine Hinweise, vielleicht in Randnotizen, von solchen nützlichen Umformungen aus der Potenz- und Wurzelrechnung oder anderen Bereichen. In Formelsammlumgen sind solche Regeln unter einem geeigneten Stichwort systematisch zusammengestellt. Eine Formelsammlung gehört für gewöhnlich auch zu den zugelassenenen Hilfsmitteln im Abitur.

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@N.Ko
wenn du Fragen hast, dann frage.
Dazu ist das Forum ja da.