Die Funktionenschar lautet ft(t ∈ ℝ) mit
ft(x) = -1/4x4 + 1/2t2x2 + 1
g: y = -5/4x + 5/2
a) Wie lauten die Extremstellen von ft in Abhängigkeit von t?
1.Ableitung
ft ´ ( x ) = -1/4 * 4 *x3 + 1/2 * 2 *t2x
f ´( x ) = -x^3 + t^2 * x
Stellen mit waagerechter Tangente
-x^3 + t^2 * x = 0
x * ( -x^2 + t^2 * ) = 0 => x = 0
-x^2 + t^2 = 0
x^2 = t^2
x = ± t
2.Ableitung
f ´´ ( x ) = -3 * x^2 + t^2
Überpüfung
f ´´ ( 0 ) = -3 * 0^2 + t^2 = t^2 stets positiv also Tiefpunkt
f ´´ ( ± t ) = -3 * (±t)^2 + t^2
f ´´ ( -t ) = -2 * t^2 sttets negativ also Hochpunkte ( 2 Stück )
Den Fall t = 0 behandele ich jetzt nicht mehr.
Dies ist glaube ich ein sogenannter Flachpunkt.
b) Für welche Werte von t liegt der Hochpunkt des Graphen von ft auf der Geraden g?
f ( ± t ) = -1/4(±t)4 + 1/2t2(±t)2 + 1
f ( ± t ) = -1/4t4 + 1/2t2t2 + 1
f ( ± t ) = -1/4t4 + 1/2t4 + 1
f ( ± t ) = 1/4 * t4 + 1
H1 ( t | 1/4 * t4 + 1 )
H2 ( -t | 1/4 * t4 + 1 )
g ( x ) = -5/4 * x + 5/2
Schnittpunkt Gerade mit H1
g ( t ) = -5/4 * t + 5/2 = 1/4 * t4 + 1
1/4 * t4 + 5/4 t = 5/2 -1
1/4 * t4 + 5/4 t = 3 / 2
Durch Probieren
t = 1
t = -2
c) Gibt es einen Wert von t, so dass der Graph von ft keinen
Wendepunkt hat?
wenn die Extrempunkte x = 0, x = t und x = -t zusammenfallen
bei t = 0 dann gibt es keine Wendepunkt. Das ist
glaube ich der Flachpunkt. Dies ist alles relativ schnell
dahingeschrieben. Ich will jetzt Fernseh schauen.
Lass dir einmal Graphen von den verschiedenen Möglichkeiten
auch t = 0 zeichnen
Ich hoffe ich konnte dir etwas weiter helfen.
