Intensität I(d) von Laserstrahlen hängt von Eindringtiefe ins Gewebe ab. Lineares und exponentielles Modell

Question

anwendung und vernetzung von grundkompetenzen

Die Intensität I(d) von Laserstrahlen hängt von der eindringtiefe d ( in mm ) in das Gewebe ab.

In 0,2 mm Tiefe beträgt die Intensität 460 W/m² , in 0,5 mm tiefe nur mehr 70 W/m² .

Berechne die Intensität der Laserstrahlen bei einer eindringtiefe von 0,4mm!

Verwende dabei ein lineares und ein exponentielles Model!

i) lineares Modell

ii) exponentielles Modell

iii) sind für die Beschreibung der Abnahme der strahlungsintensität beide Modelle ( linear und exponentiell) geeignet? Begründe deine Antwort !

Bitte mit rechenschritte 

Dankeee

Answer 1

In 0,2 mm Tiefe beträgt die Intensität 460 W/m² , in 0,5 mm Tiefe nur mehr 70 W/m² .

Berechne die Intensität der Laserstrahlen bei einer eindringtiefe von 0,4mm!

Verwende dabei ein lineares und ein exponentielles Model!

A ( 0.2  | 460 )
B ( 0.5  | 70 )

i) lineares Modell 

y = m * x + b
m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 460 - 70 ) / ( 0.2 - 0.5 )
m = -1300
460 = -1300 * 0.2 + b
b = 720
y = -1300 * x + 720
Probe mit B
70 = -1300 * 0.5 + 720 = 70

für x = 0.4
-1300 * 0.4 + 720 = 200 W/m^2

ii) exponentielles Modell 
die Variable steht im Exponent

f ( t ) = f0 * z^t
t = Eindringtiefe
f0 = Wert bei t = 0
f ( 0.2 ) = f0 * z^0.2 = 460
f ( 0.5 ) = f0 * z^0.5 = 70
f0 * z^0.2 = 460
f0 * z^0.5 = 70
Beide Seiten teilen, dadurch entfällt f0
z^0.2 / z^05 = 460 / 70
z^{0.2-0.5} = 6.5714
z^{-0.3} = 6.5714
-0.3 * ln(z) = ln(6.5714)
ln(z) = 1.8827 / -0.3 = -6.2758
z = e^{-6.2758}
z = 0.00188
460 = f0 * 0.00188^{0.2} = f0 * 0.285
f0 = 1614
f ( t ) = 1614 * 0.00188^t
Probe mit B
70 =  1614 * 0.00188^0.5 = 70

für x = 0.4
f ( 0.4 ) = 1614 * 0.00188^0.4 = 131 W/m^2

Hinweis : man kann auch die e-funktion definieren
z = e^{-6.2758}
z^t = [e^{-6.2758}]^t
z^t = e^{-6.2758*t}
f ( x ) = 1614 * e^{-6.2758*t}

iii) sind für die Beschreibung der Abnahme der strahlungsintensität
beide Modelle ( linear und exponentiell) geeignet? Begründe deine Antwort !

Die Strahlung verteilt sich mit zunehmender Eindringtiefe auf
auf eine größer werdende FLÄCHE.
Beispiel
Eindringtiefe  Fläche Intensität
1                       1          1 / 1
2                       4           1 / 4
3                       9           1 / 9
Eine abnehmende Exponentialfunktion ist daher geeigneter.

Comments

Richtig heißt es doch m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁), oder nicht?

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Achso, nein, beides ist richtig, hab' nochmal nachgedacht. ;-)

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Hab' für b gerade noch eine andere Möglichkeit zum Ausrechnen gefunden, weil ich dieses Umstellen immer ein wenig realitätsfern finde:

b = y(x₂ - [x₂ - x₁]) - m * (x₂ - [x₂ - x₁])

... nachgerechnet kommt ebenfalls 8 heraus. :-)

Vorteil: Man muss nicht y(x) wissen, sondern kann mit den gegebenen Werten rechnen.

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was ist den einfacher  ?

b = y₁ - m * x₁
oder
b = y(x₂ - [x₂ - x₁]) - m * (x₂ - [x₂ - x₁])

mfg Georg

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Eine andere Frage. Das musst Du je nach Situation entscheiden.

Answer 2

i) Differenz = 0,3 mm =_def 460 W/m² - 70 W/m² = 390 W/m²

Dreisatz: 390 W/m² geteilt durch 3 = 130 W/m_² ; sprich: 1 mm verringert/vergrößert die Intensität um 130 W/m²

130 W/m² mal 2 = 260 W/m² ; von dem Wert der 0,2 mm Tiefe müssen also diese 260 W/m² abgezogen werden, was 200 W/m² ergibt.

ii) kann jemand anders machen. ;-)

Answer 3

In 0,2 mm Tiefe beträgt die Intensität 460 W/m² , in 0,5 mm tiefe nur mehr 70 W/m² .

Exponentielles Modell. Bei gleichen Schritten der Variablen d, wird die Intensität mit dem gleichen FAKTOR q multipliziert. Es gilt:

f(0.2) * q^3 = f(0.5)

q^3 = f(0.5) / f(0.2)

q = ³√ (f(0.5)/f(0.2))

f(0.2) * q^2 = f(0.4)

f(0.4) = 460 * (^3√ (f(0.5)/f(0.2)))^2

= 460 *( 70/460)^{2/3} ≈ 131.11 

In 0.4 mm Tiefe beträgt die Intensität noch etwa 130 W/m^2.

iii)

Das 2. Modell ist vorzuziehen. Da die exponentielle Abnahme verhältnismässig immer gleich stark ist. Dieses Modell geht davon aus, dass keine Intensität unter 0 vorkommen kann, was beim linearen Modell relativ schnell passieren kann und dann physikalisch keinen Sinn mehr macht.

i) vgl. Antwort von Mathe-Neuling.

 

Comments

Zunächst einmal meinen Glückwunsch zur " einfachen " Herleitung
einer Berechnungsvorschrift.

Dazu ist allerdings " Expertenwissen " vonnöten das ich beim
Fragsteller nicht unbedingt vermute.

Meine Antwort hat den Vorteil auf der Standard-Formel zur
Berechnung von Exponentialgleichungen zu beruhen.

Außerdem kann d = Eindringtiefe direkt in mm eingesetzt
werden.

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georgborn: Schön, dass du das allgemein als Steckbriefaufgabe einer Exponentialfunktion gelöst hast.

In der Regel werden die Eigenschaften der Exponentialfunktionen ( Konstanter Faktor bei gleichen Schritten der unabhängigen Variablen) in der Schule zusammen mit den Exponentialfunktionen behandelt. Man macht da nicht einfach Exponentialfunktion wegen der Exponentialfunktion.