Steckbriefaufgabe: Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse bei x=3

Question

Aufgabenstellung:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die \( x \)-Achse bei \( x=3 \) und verläuft durch \( P(4 / 3) \) und \( Q(1 / 4) \).

Ansatz:

f(x) = ax³+bx²+cx+d

f '(x) = 3a*x²+2b*x+c

Bedingungen

f(4)=3

f(1)=4

f(3)=0

f '(3)=0

f(4) = a*4³+b*4²+c*4+d = 3   =>  | 64a+16b+4c+1d

f(1) = a*1³+b*1²+c*1+d = 4   => || 1a+1b+1c+1d

f(3) = a*3³+b*3²+c*3+d = 0   => ||| 27a+9b+3c+1d

f'(3) = 3a*3²+2b*3+c = 0       => |V 27a+6b+1c

Alles richtig soweit ?

Wenn ja, Wie mache ich das nun mit dem Gleichungssystem?  Ich meine da fehlt z.B. ein d bei IV

|    64a+16b+4c+1d

||    1a+1b+1c+1d

|||   27a+9b+3c+1d

|V   27a+6b+1c

Answer 1

Weil ich nicht gern so viele Variable habe, würde ich wegen 'berührt die x-Achse in x= 3 direkt ansetzen.

f(x) = a(x-3)^2 (x + k)

Nun sind nur a und k unbekannt und man kann noch die Punkte P und Q einsetzen, um sie zu bestimmen. Zum Schluss halt dann alles ausmultiplizieren. Dann hat man a,b,c und d.

f(1) = 4

4 = a(1-3)^2 (1+k)

4 = 4a(1+k)

1 = a(1+k)          (I)

f(4) = 3

3 = a(4-3)^2 (4 + k)

3 = a(4+k)      (II)

---------------------(II) : (I)

3 = (4+k)/(1+k)

3(1+k) = 4+k

3 + 3k = 4 + k

2k = 1

k = 1/2

in (I) 1 = a(1 + 1/2) = a*(3/2)         | *(2/3)

2/3 = a

f(x) = 2/3*(x-3)² (x + 1/2)

= 2/3*(x^2 - 6x + 9) ( x + 1/2)

= 2/3 (x^3 - 6x^2 + 9x + 1/2 x^2 - 3x + 4.5)

= 2/3 (x^3 - 11/2 x^2 + 6x + 4.5)

= 2/3 x^3 - 11/3 x^2 + 4x + 3

Rechnung ohne Gewähr. Bitte selbst richtig durchrechnen.

Comments

Deine Gleichungen müssen alle ein Gleichheitszeichen und ein sowohl eine linke als auch eine rechte Seite enthalten.

f(4) = a*4³+b*4²+c*4+d = 3   =>  | 64a+16b+4c+1d = 3

f(1) = a*1³+b*1²+c*1+d = 4   => || 1a+1b+1c+1d = 4

f(3) = a*3³+b*3²+c*3+d = 0   => ||| 27a+9b+3c+1d = 0

f'(3) = 3a*3²+2b*3+c = 0       => |V 27a+6b+1c = 0

Wenn eine Gleichung nur 3 Unbekannte enthält, ist das ein Glücksfall. Man muss ja die Anzahl der Unbekannten runterbringen. Jetzt musst du einfach aus I, II und III zwei Gleichungen basteln, die d nicht enthalten. usw.

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Danke für deine Mühe. So einen Lösungsweg kenne ich noch nicht. Muss da erstmal durchblicken.

Dein Ergebnis ist allerdings richtig^^ (muss halt nochmal selber klar kommen wie ich da hin komme)

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Gibt es auch einen anderen Lösungsweg :D ?

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Deiner geht auch. Gibt einfach mehr zu rechnen. - Ausser man darf das so wie du's jetzt hast in den Taschenrechner eingeben.

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Ich will nicht stören, aber noch mal eine Frage.

 | 64a+16b+4c+1d = 3

 || 1a+1b+1c+1d = 4

 ||| 27a+9b+3c+1d = 0

 |V 27a+6b+1c = 0

"Man muss ja die Anzahl der Unbekannten runterbringen..Jetzt musst du einfach aus I, II und III zwei Gleichungen basteln, die d nicht enthalten. usw."

wie mache ich das in einem Gleichungssystem? Ich weiß wie ich Jetzt aus den Gleichungen | || und |||, a b c oder d herausfinden kann zb. durch das additionsverfahren (soviel zu meinem wissensstand). Aber habe keine Ahnung was ich nun mit der Gleichung IV machen soll..

Entschuldige wenn ich mich etwas dämlich anstelle...

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Wenn eine Gleichung nur 3 Unbekannte enthält, ist das ein Glücksfall. Man muss ja die Anzahl der Unbekannten runterbringen. Jetzt musst du einfach aus I, II und III zwei Gleichungen basteln, die d nicht enthalten. usw.

Zu diesen beiden Gleichungen nimmst du dann die (IV) dazu.

Dann hast du ein LGS mit 3 Unbekannten.

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Genau!

Wie bekomme ich das nun hin das ich das d weg bekomme ? ^^

 | 64a+16b+4c+1d = 3

 || 1a+1b+1c+1d = 4

 ||| 27a+9b+3c+1d = 0

Hast du vielleicht auf die schnelle ein stichpunkt oder einen Link wo ich mir das nochmal anschauen kann?

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Lies dazu am besten mal den Artikel Unknown zum Additions- und Subtraktionsverfahren. (Link https://www.mathelounge.de/46100/artikel-lineares-gleichungssystem-additionsverfahren-erklart )