Trick beim Umformen von Verhältnisgleichungen: Aus a / b = c / d wird a / (b + k·a) = c / (d + k·c)

Question

Ich war gerade in einer Antwort

https://www.mathelounge.de/155375/umkehrfunktion-f-x-x-1-x-5

auf eine sehr geschickte Umformung bei einer Verhältnisgleichung gestoßen.

Ich habe dazu eine ganz kurze Herleitung gemacht und das als Regel notiert:

Man darf im Nenner beliebige Vielfache des Zählers addieren oder subtrahieren.

a / b = c / d 

a·d = b·c 

a·d + k·a·c = b·c + k·a·c 

a·(d + k·c) = c·(b + k·a) 

a / (b + k·a) = c / (d + k·c)

Genauso sollte es möglich sein, dass man beliebige Vielfache des Nenners im Zähler addiert oder subtrahiert.

Vielleicht weiß ja jemand woher dieser Trick kommt.

Comments

Beim Zähler addierst du rechts und links jeweils k*1.

Wenn man den Kehrbruch nimmt, sollte das auch nichts an der Identität ändern, wenn man's für den Nenner benutzt.

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Ja. anders herum ist das eigentlich üblich

Man darf im Zähler beliebige Vielfache des Nenners addieren oder subtrahieren.

a/b = c/d 

a/b + k = c/d + k 

a/b + k·b/b = c/d + k·d/d

(a + k·b) / b = (c + k·d) / d

Aber ich bin nie auf die Idee gekommen das auch mal genau anders herum zu machen. Nun brauche ich nur schöne Gleichungen wo ich das Anwenden kann :)

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Sehr schön entdeckt!

Hier mal ein Zahlenbeispiel, damit man es "griffiger" vor Augen hat:

$$ \frac { 1 }{ 2 } = \frac { 4 }{ 8 }  \quad |k=6 \\ \frac { 1 }{ 2 + \color{red}{6}·1} = \frac { 4 }{ 8 + \color{red}{6}·4} \\ \frac { 1 }{ 8} = \frac { 4 }{ 32} \\ 0,125 = 0,125 $$

Answer 1

Hi, die Umformung heißt "korrespondierendes Addieren / Subtrahieren".

Siehe dazu auch:
http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Verhaeltnisgleichungen.htm

Ich weiß nicht mehr, wie ich darauf gekommen bin oder wo ich diese Umformung zum ersten mal gesehen habe, finde sie aber sehr praktisch beim Vereinfachen von Verhältnisgleichungen. Wenn man bedenkt, wieviele Fragestellungen über Verhältnisgleichungen beschrieben werden können, ist es ein wenig verwunderlich, dass dieses Verfahren eher unbekannt ist. So steht etwa, wenn ich recht sehe, bei Wikipedia nichts dazu. In älteren Schulbüchern findet sich das aber noch.

Comments

Vielen lieben Dank für den Hinweis.

Vielleicht schaffen wir es ja diese Art der Umformung bei solchen Problemen wieder etwas populärer zu machen :)

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Hier dazu doch noch etwas auf Wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotient#Gesetze_der_korrespondierenden_Addition_und_Subtraktion