f(x)= x^2, g(x)=x^3. Im Schnittpunkt P(x1|y1) Tangenten einzeichnen. Wie groß ist der Flächeninhalt...

Question

geg: f(x)= x^2 g(x)=x^3

Im Schnittpunkt P(x1|y1) sind Tangenten einzuzeichnen, beide Tangenten schließen mit der y-Achse ein Dreieck ein. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Comments

Hier eine Skizze die die Situation verdeutlicht. Blau sind die Graphen und rot die Tangenten im Schnittpunkt S(1|1).

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Danke für das Diagramm, da möchte ich doch noch mal nachfragen, wiso ist die Höhe des Dreiecks 1?

Bei dem Gelben Strich wäre es eindeutig, aber wir haben ja die Höhe wie bei dem grünen Strich gezogen und die scheint auf den ersten Blick länger als 1 zu sein. Ist das jetzt ein Problem der Darstellung?

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Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite. Daher ist das gelbe die Höhe und nicht das grüne.

Answer 1

geg: f(x)= x² , g(x)=x³ 

im Schnittpunkt P(x1|y1) sind Tangenten einzuzeichnen, 

x^2 = x^3

0 = x^3 - x^2 = x^2(1-x)

x_1,2=0

x₃=1

P_1,2(0,0) uninteressant, da auf y-Achse. Dreieck hätte Fläche 0.

P₃(1,1)

beide Tangenten schließen mit der y-Achse ein Dreieck ein. Wie groß ist der Flächeninhalt?

f(x)= x² ,

f' (x) = 2x

f'(1) = 2 = m

y = 2x + q   P₃ einsetzen

1 = 2 + q

-1 = q       .        y-Achsenabschnitt

y=2x -1

 g(x)=x³ 

g' ( x) = 3x^2

g' (1) = 3 = m

y = 3x + q | P₃ einsetzen

1 = 3 + q

-2 = q        y-Achsenabschnitt

y = 3x -2

Dreiecksfläche: Dreieck so ansehen, dass Grundseite auf y-Achse liegt. Deren Länge ist 2-1=1.

Die zugehörige Höhe des Dreiecks ist ebenfalls 1.

Gesuchte Fläche F = (1*1)/2 = 1/2.

Comments

Wie kommst Du im letzten Schritt auf die x-Werte \( x_1=1 \) und \( x_2 = 2 \)
Meiner Meinung nach sieht das Dreieck so aus.

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woher kann ich ableiten, dass die Dreieckshöhe 1 ist und welche Formel zur Flächenberechnung ist das? schon mal

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woher kann ich ableiten, dass die Dreieckshöhe 1 ist und welche Formel zur Flächenberechnung ist das? schon mal

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Das Dreieck soll von den beiden Tangenten und der y-Achse eingeschlossen sein...

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Ich nehme die Formel A= 1/2gh und die Grundseite kann dabei beliebig gewählt werden, richtig?

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Woher weis ich, dass die Höhe 1 ist ?

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Die Grundseite kann immer beliebig gewählt werden, hier ist jedoch günstig, die Grundseite auf der y-Achse liegen zu haben, da dann die x-Koordinate des Schnittpunktes S( 1 | 1 ) die dazu passende Höhe angibt.

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ullim: Ich brauche den Unterschied der y-Achsenabschnitte nur betragsmässig. Daher rechne ich 2-1 = 1. 

Du kannst natürlich auch |(-1)-(-2)| oder |(-2)-(-1)| rechnen.

Answer 2

Wie ist das gemeint? Die Schnittstellen sind \( x=0 \) und \( x=1 \)

In welchen Punktens sollen die Tangenten angelegt werden?

Answer 3

$$f(x)= x^2 $$
$$ g(x)=x^3 $$

$$f'(x)= 2x $$
$$ g'(x)=3x^2 $$

Von den beiden möglichen Schnittpunkten ist der bei x=0 ziemlich langweilig, weil da die beiden Tangenten auf der x-Achse liegen und somit kein Dreieck mit ihr bilden können. Ausserdem ist der andere Schnittpunkt ja bereits im Text vorgegeben.
Also haben wir einen Punkt und die Steigungen der Tangenten erhalten wir durch einsetzen der Schnittstelle 1 in die Ableitungen.
Die Tangentengleichungen sind mit der Punkt-Steigungsformel (wikipedia gucken) zu bekommen. Dann die Schnittstellen der Tangenten mit der x-Achse ertüfteln.