Question

Beweise:

Betrag(z1 × z2) = Betrag(z1) × Betrag(z2)

Mein Versuch:

\( z_1 = a + bi \quad z_2 = c + di \)
\( \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right| \quad z_{2}=c+d_{1} \)
\( |(a+b i) \cdot(c+d i)|=|(a+b i)| \cdot|(c+d i)| \)
\( \sqrt{{a^{2}+b^{2}}+c^{2}+d^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sqrt{c^{2}+d^{2}} \)
\( {a+b+c+d}=\left(a+b\right)(c+d) \)

Answer 1

Hi immai,

solche Fehler wie √(a^2+b^2) = a+b sollten Dir auf der Uni nicht mehr passieren! Oo Das ist ein grober Fehler!

linke Seite:

|(a+bi)*(c+di)| = |ac-bd + (bc+ad)i| = √((ac-bd)^2 + (bc+ad)^2) = √( (ac)^2 - 2abcd + (bd)^2 + (bc)^2 + 2abcd + (ad)^2  )

= √( (ac)^2 + (bd)^2 + (bc)^2 + (ad)^2 )

rechte Seite:

|a+bi|*|c+di| = √(a^2+b^2) * √(c^2+d^2) = √( √(a^2+b^2)*(c^2+d^2) ) = √( (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 )

Das ist je identisch, passt also.

Grüße

Comments

Ist das so richtig?

Und meine 2 fragr steht auf dem blatt^^

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Wegen bspw. √a*√b = √(a*b) ? :P

Sieht sonst ganz gut aus :)

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Das sieht ja ganz interessant aus :)

wann kann ich auch sowas :(

Und Unknown von mir wieder ein Plus wie immer ;D

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Ja muss man diesen schritt nicht auch beweisen?

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Wenn nicht explizit verlangt, dann nicht. Sonst müsste man ja auch bald 1+1 = 2 beweisen :P.

Answer 2

Dein Schritt in der 2. Zeile ist falsch und um die wurzel zu sparen arbeite doch lieber direkt mi |,|²

$$ |z_1*z_2|^2 = |(a+bi) *(c+di)|^2 = |(ac-bd)+(ad+bc)i| \\ = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) = |z_1|^2|z_2|^2 $$