Es seien a,b ∈ ℝ mit a ≥ 0, b ≥ 0. Beweisen Sie

Question

√(a+b) ≤ √a + √b

Wie fange ich an?

und was bedeutet a,b ∈ ℝ

das a und b reelle ZAhlen sein müssen ???

Answer 1

Hi, a und b sollen reelle Zahlen sein. Weiter sollen a und b nicht negativ sein. Daraus folgt aber, dass die beiden Seiten der Ungleichung ebenfalls nicht negativ sein können. Daher ist das Quadrieren der Ungleichung eine Äquivalenzumformung.

Comments

wie quadriere ich denn?

habe ich dann einfach a+b ≤ a+ b

???

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Links ja, rechts wird aber eine Summe Quadriert. Benutze dazu die erste binomische Formel.

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sieht das dann so aus?

a+b ≤ a + 2 √(ab) + b

und dann ??

rechne ich minus a minus b

und hab dann sowas

0 ≤ √(ab)

ist das richtig?

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Das ist soweit richtig.

Eine Anmerkung noch zu dem, was ich oben schrieb, nämlich "Weiter sollen a und b nicht negativ sein. Daraus folgt aber, dass die beiden Seiten der Ungleichung ebenfalls nicht negativ sein können" ist Quatsch, beide Seiten sind schon allein deswegen nicht negativ, weil Quadratwurzeln bzw. Summen von von Quadratwurzeln nicht negativ sein können.

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0 ≤ √(ab)
ist das richtig?

Noch der Vollständigkeithalber warum :

Anfangsbedingung :
a >= 0 und b >= 0
a * b demnach auch.
Eine Wurzel kann nur aus einem positivem Ausdruck
gezogen werden.  Ist gegeben.
Per Definition ist der gezogene Wert positv.
Also ist die obige Aussage richtig.

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danke!

Hat mir sehr geholfen