Grenzwert / Häufungspunkte einer Folge. an = 3 - (1/n)•(-1)^n

Question

Aufgabenstellung: Entscheide, ob die Folgen konvergieren und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. Gib auch falls möglich die Häufungspunkte an.

(a) a_n = 3 - (1/n)•(-1)ⁿ
Hier ist meine Überlegung, dass 1/n gegen 0 konvergiert und somit der Teil
(1/n)•(-1)ⁿ = 0 ist, was heisst das die 3 Übrig bleibt und somit der Grenzwert und der Häufungspunkt ist. Stimmt das?

(b) b_n= 1, falls n gerade, und b_n = 1/n, falls n ungerade

Hier weiss ich nicht, ob die zweite Teilmenge auch konvergiert, da ja n  für jedes ungerades das Ergbnis 1 hat? Hat die Folge nun einen Grenzwert und Häufungspunkte?

(c) a_n = cos(1/n)

Hier konvergiert ja 1/n gegen 0, sodass der cos(0) = 1 ist. Somit hat die Folge den Grenzwert 1 und Den Häufungspunkt 1?

(d) a_n = (-1)ⁿ

Hier ist das Erbebnis ja immer = 1, falls n gerade und = 0, falls n ungerade ist. Hat die Folge nun einen Grenzwert und Häufungspunkte?

(e) a_n = cos(nπ)

Hier weiss ich gar nicht weiter...

Für Ratschläge / Lösungswege bin ich sehr dankbar.

(a) \( a_{n}=3-\frac{1}{n}(-1)^{n} \)
(b) \( b_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1, & n \text { gerade } \\ \frac{1}{n}, & n \text { ungerade }\end{array}\right. \)
(c) \( c_{n}=\cos \left(\frac{1}{n}\right) \)
(d) \( d_{n}=(-1)^{n} \)

Answer 1

schau dir nochmal genau die Definition von Grenzwert und Häufungspunkt an und schau ob du den Unterschied verstanden hast (wird nur teilweise aus deinen Lösungen deutlich). Wenn der Grenzwert existiert ist er eindeutig und der einzige Häufungspunkt.

zu den Aufgaben:

(a) richtig

(b) zeigt er mir nicht an

(c) richtig

(d) Keinen Grenzwert, aber 2 Häufungspunkte

(e) Setz mal ein paar Werte für n (1,2,3,4 zum Beispiel) ein und schau ob du einen Zusammenhang zur Aufgabe (d) findest ;)

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Ehrlichgesagt ist mir die Definition nicht ganz klar, wir hatten nur den Grenzwert in der Vorlesung und die Häufungspunkte nicht. Auch im Skript kommen die Häufungspunkte leider nicht vor und das Internet hilft nur begrenzt weiter...

Aso so wie ich es verstande habe, ist der Grenzwert der der Wert, dem man immer näher kommt wenn man n gegen ∞ streben lässt. Ein Häufungspunkt ist laut Wikipedia ein Punkt, der ein Grenzwert einer Teilfolge ist. Das bedeutet ja, dass ein Grenzwert automatisch ein Häufungspunkt ist.

Hat a_n = (-1)ⁿ nun zwei Häufungspunkte, weil das Ergebnis immer entweder +1 oder -1 je nach geradem oder ungeradem Exponent ist und sie darum keinen Grenzwert hat, weil sie zwei Häufungspunkte hat, die verschieden sind?

Hier nehme ich an, dass es zwei Teilfolgen sind, wobei die obere den Grenzwert 1 und die untere den Grenzwert 0 hat. Bedeutet das nun, dass es die zwei Häufungspunkte 1 und 0 gibt, jedoch keinen gemeinsamen Grenzwert der Folge b_n da sie nicht zwei Grenzwerte haben kann?

bei (e) ist das Ergebnis auch je nach einem geraden/ungeraden n entweder 1 oder -1, dementsprechend auch kein Grenzwert aber zwei Häufungspunkte?

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Häufungspunkte sind definiert als Punkte, in deren Nähe sich unendlich viele Folgeglieder befinden.

Grenzwert ist definiert als Punkt, in dessen Umgebung sich ab einem bestimmten n alle Folgeglieder befinden.

Bei deiner alternierenden Folge (-1)ⁿ befinden sich unendlich viele Folgeglieder bei -1 und unendlich viele bei +1. -1 und +1 sind deswegen Häufungspunkte.
Aber es gibt keine beliebig kleine Umgebung um 1 und -1 die alle Folgeglieder der Folge ab einem bestimmten n enthalten. Das muss aber per Definition für den Grenzwert der Fall sein. Deswegen hat die Folge nur Häufungspunkte aber keinen Grenzwert.

bei der Folge 1/n kannst du eine beliebig kleine Umgebung um 0 wählen und das n bestimmen, ab dem alle weiteren Folgeglieder innerhalb dieser Umgebung liegen. Deswegen ist 0 der Grenzwert der Folge.

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Hi,

Du: Grenzwert ist automatisch ein Häufungspunkt.

->Richtig, außerdem konvergieren ALLE Teilfolgen einer Folge gegen den Grenzwert, sofern er existiert (also ist er auch der einzige Häufungspunkt).

Du: Hat a_n = (-1)ⁿ nun zwei Häufungspunkte, weil das Ergebnis immer entweder +1 oder -1 je nach geradem oder ungeradem Exponent ist und sie darum keinen Grenzwert hat, weil sie zwei Häufungspunkte hat, die verschieden sind?

->Ja, weil die geraden und ungeraden natürlichen Zahlen sind ja jeweils eine Teilfolgen. Außerdem kann die Folge keine anderen Häufungspunkte haben, da sie ja keine anderen Werte annehmen kann. Da es 2 Häufungspunkte sind kann die Folge keinen Grenzwert haben (Stichwort: Grenzwert ist eindeutig!).

Deine weiteren Ausführungen sind soweit korrekt.

Der Unterschied in der Definition von Grenzwert und Häufungspunkt liegt in der Anordnung:

Grenzwert: Zu jeder Umgebung vom Grenzwert gibt es eine natürliche Zahl n, so dass ab dem n.ten Glied der Folge, alle Folgenglieder in der Umgebung liegen.

Häufungspunkt: Zu jeder Umgebung des Häufungspunktes gibt es unendlich viele Folgenglieder, die in dieser Umgebung liegen.

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Vielen Dank nochmals,

stimmt es, dass sobald eine Folge keinen Grenzwert hat, sie automatisch divergiert?

Falls ja, heisst das dass die Folgen b_n (vergleiche Bild) und a_n = (-1)ⁿ dementsprechend divergent sind, auch wenn sie zwei Häufungspunkt haben, weil sie ja keinen Grenzwert haben?

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Ja das ist die Definition wann eine Folge divergiert, und ja das ist die Definition richtig angewendet auf die Folge b. Gruß

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Vielen vielen Dank!

Deinen Erklärungen konnte ich im Gegensatz zu denen unseres Professors folgen ;)