Question

Zerlege die folgenden (komplexen) Polynome in Linearfaktoren.

(a) z² + 1

(b) z²

(c) z⁴ - z³ - 3z² + 3z - i(3z³ - 3z² - z + 1) (Tipp: i ist eine Nullstelle.)

(d) z³ - z² + z - 1

Bei (a) habe ich überlegt  (z + i) • (z - i) = z² - i² = z² + 1, stimmt meine Überlegung?

Bei (b) habe ich überlegt (z +0i) • (z - 0i) = z², stimmt das?

Bei (c) und (d) weiss ich den Lösungsansatz nicht.

Answer 1

(a) z² + 1 = (z + i) * (z - i) [stimmt so]

(b) z² = z * z [lass das einfach so stehen]

(c) z⁴ - z³ - 3z² + 3z - i(3z³ - 3z² - z + 1) (Tipp: i ist eine Nullstelle.)

(z^4 - z^3 - 3·z^2 + 3·z - i·(3·z^3 - 3·z^2 - z + 1)) / (z - i) = z^3 - z^2·(2·i + 1) + z·(2·i - 1) + 1

(z^3 - z^2·(2·i + 1) + z·(2·i - 1) + 1) / (z - i) = z^2 - z·(i + 1) + i

(z^2 - z·(i + 1) + i) / (z - i) = z - 1

z⁴ - z³ - 3z² + 3z - i(3z³ - 3z² - z + 1) = (1 - z)·(i - z)^3

(d) z³ - z² + z - 1 = (z - 1)·(z^2 + 1) = (z - 1)·(z + i)·(z - i)

Comments

Vielen vielen Dank für die schnelle und veranschaulichende Antwort! :D

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z⁴ - z³ - 3z² + 3z - i(3z³ - 3z² - z + 1) = (1 - z)·(i - z)³

Aber warum ist es bei (c) (1 - z)·(i - z)³ und nicht (z - 1)·(z - i)³ am Schluss? 

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Du kannst es auch (z - 1)·(z - i)³ schreiben. Das ist egal. Du kannst beide Klammern mit -1 multiplizieren.

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Ja, das macht Sinn,

Aber die Polynomdivision selber kann ich beim Nachrechnen nicht wirklich vollziehen...

(c) z⁴ - z³ - 3z² + 3z - i(3z³ - 3z² - z + 1)  habe ich als z⁴ - z³ - 3z² + 3z - 3z³i + 3z² i + zi - i umgschrieben, damit ich es teilen kann.

wenn i nun (z⁴ - z³ - 3z² + 3z - 3z³i + 3z² i + zi - i)  / (z -1) teile, komme ich auf

z³ -z² - 3z + 3 Rest: -2z³i + 2z²i - 2zi + 2i

Wie komme ich von da auf z³ - z²·(2·i + 1) + z·(2·i - 1) + 1, wie es in deiner Rechnung steht?

Answer 2

d) z³ - z² + z - 1
= z² (z -1) + z - 1
= (z - 1) (z² +1)
= (z - 1) (z + i) (z - i)

Comments

Danke für die Antwort :)

Answer 3

Hallo

a) und b) sind ok.
c) Führe eine Polynomdivision durch (z- i) durch.
 Probiere anschließend, ob Du eine Nullstelle für das Polynom 3. Grades findest.
 Dann wieder Polynomdivision durchführen. Dann quadratische Lösungsformel anwenden.
d) Probiere, ob Du eine Nullstelle findest
Dann Polynomdivision durchführen. Dann quadratische Lösungsformel anwenden.
Zum Probieren von etwaigen Nullstellen bieten sich meistens sehr kleine ganze Zahlen an.