Quadratische Gleichungen lösen: 1. x^2+x-6=0, 2. x^2+a^2=2ax+1

Question

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden quadratischen Gleichungen mit x als Unbekannter:

1. x²+x-6=0

2. x²+a²=2ax+1

Bitte auch mit Rechenoperationen!

Answer 1

1. x²+x-6=0

x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q) = - 1/2 ± √(1/4 + 24/4) = - 1/2 ± 5/2

x1 = -3 ; x2 = 2

2. x² + a² = 2ax + 1

x² - 2ax + a² = 1

(x - a)^2 = 1

x - a = ± 1

x = a ± 1

x1 = a - 1 ; x2 = a + 1

Answer 2

die pq-Formel ist Dir bekannt?
x² + px + q = 0
x_1,2 = -p/2 ± √(p²/4 - q)

1. x² + x - 6 = 0

x_1,2 = -1/2 ± √(1/4 + 6) = -1/2 ± √(25/4) = -1/2 ± 5/2

x₁ = -1/2 + 5/2 = 4/2 = 2

x₂ = -1/2 - 5/2 = -6/2 = -3

Probe:

2² + 2 - 6 = 0 | stimmt

9 - 3 - 6 = 0 | stimmt

2. x² + a² = 2ax + 1 | -2ax - 1

x² - 2ax + a² - 1 = 0

x_1,2 = a ± √(a² - a² + 1) = a ± √1

x₁ = a + 1

x₂ = a - 1

Probe:

(a + 1)² + a² = a² + 2a + 1 + a² = 2a² + 2a + 1

2a * (a + 1) + 1 = 2a² + 2a + 1 | stimmt

(a - 1)² + a² = a² - 2a + 1 + a² = 2a² - 2a + 1

2a * (a - 1) + 1 = 2a² - 2a + 1 | stimmt

Besten Gruß

Comments

Bei der zweiten Gleichung verstehe ich die Rechenoperationen, die du gemacht hast nicht.

Zuerst hast du 2ax und 1 auf die andere Seite gebracht. Den nächsten Schritt hab ich nicht kapiert.

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Ich habe wieder die pq-Formel angewandt:

x² + px + q = 0
x_1,2 = -p/2 ± √(p²/4 - q)

Hier ist jetzt p, also die Variable, die vor dem x steht:

-2a

Also ist -p/2

a

und p²/4 ist

a²

Und q, das absolute Glied, ist:

+ a² - 1

Und das jetzt wieder in die pq-Formel eingesetzt:

x_1,2 = a ± √(a² - a² + 1) = a ± √1

Etwas klarer?

Answer 3

1.  x²+1x-6=0    | zum Faktorisieren kannst du hier die 1 dazu denken.

-6 = 3*(-2) und 3 + (-2) = 1

Daher  x²+x-6=(x-2)(x+3) = 0

Ablesen x₁ = 2 und x₂ = -3

2. x²+a²=2ax+1

 x²-2ax+a²=1       |links 2. Binom erkennen

(x-a)^2 = 1       | √

x-a = ±√1 = ±1

x = a±1

x₁ = a+1

x₂ = a-1

Comments

Wenn man von (x-2)² die Wurzel zieht bleibt x-a übrig?

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Gast: Wenn man von (x-a)² die Wurzel zieht bleibt x-a übrig? 

So wie oben gezeigt. Ja. Du musst nur auf einer Seite der Gleichung noch ± voranstellen.