Gleichheit von Mengen

Question

Ich soll die folgenden Mengen auf Gleichheit untersuchen (wobei gilt: A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A)

Es gut um die Aufgabe

A = { z ∈ ℤ | es existiert ein m ∈ ℤ mit z = 9m+5 }
B = { z ∈ ℤ | es existiert ein m ∈ ℤ mit z = 9m-4 }

Hier fehlt mir nun komplett der Ansatz, was ich überhaupt machen soll und wie ich Anfangen kann.

Für mich wäre klar dass es kein z gibt, sodass A und B gilt. Da man beim Umstellen auf z.B. 5 = -4 kommen würde.

Oder was mache ich da falsch?

Answer 1

Du musst zwei Dinge zeigen:

1) \(A \subset B\) und

2) \(B \subset A\).

Das tust du, indem du dir ein beliebiges Element aus einer Menge nimmst und zeigst, dass es auch in der anderen liegt. Ich mach das mal für 1) als Beispiel, 2) kannst du selber machen.

Sei \(z \in A\) beliebig. Per Definition von \(A\) gibt es also ein \(m\in \mathbb{Z}\) derart, dass \(z=9m+5\).

Um zu zeigen, dass \(z\in B\), müssen wir nun ein \(m'\in \mathbb{Z}\) konstruieren, sodass \(z=9m' -4\).

Betrachte die Gleichung \(9m+5=9m+5\). Wir schreiben die rechte Seite um und erhalten \(9m+5=9m+9-4\). Zusammenfassen liefert nun \(9m+5=9(m+1)-4\). Wenn du genau hinschaust siehst du, dass mit \(m':=m+1\) folgt, dass \(z\in B\).

Jetzt ist also gezeigt - da wir \(z\) beliebig aus \(A\) gewählt haben - dass \(A\) eine Teilmenge von \(B\) ist. Den Beweis, dass \(B\) eine Teilmenge von \(A\) ist überlasse ich dir.

Wenn weitere Fragen oder Probleme auftauchen, stell sie.

Comments

Wenn wir also das zweite Beispiel betrachten ( B ⊂ A ), wäre dann folgendes richtig?

Zuerst stelle ich die Gleichung für B auf mit 9m - 4 = 9m - 4

Diese stelle ich dann um zu 9m - 4 = 9m - 9 + 5 (da haben wir dann schonmal das +5 für A)

Und im letzten Schritt müssen wir noch die rechte Seite dann noch Ausklammern zu:

9m - 4 = 9 (m-1) + 5

Dort haben wir dann, dass m' = m - 1 wäre. Stimmt das?

---

Jo alles in Ordnung.

Wichtig ist halt bei solchen Mengenbeweisen, dass du in 99% der Fälle eben diese zwei Inklusionen (\(A\subset B\) und \(B \subset A\) ) zeigen musst. Und Mengeninklusionen zeigt man eben, indem man ein beliebiges Element rauspickt, dann die Eigenschaften, die dieses Element aufgrund seiner Zugehörigkeit zur Menge hat, nutzt und folgert, dass das Element auch die Eigenschaften erfüllt, um in der zweiten Menge enthalten zu sein.

---

Alles klar, dann werde ich noch ein paar Übungen dazu machen.

Vielen dank! Ist wirklich gut erklärt gewesen und hat mir sehr geholfen.

Answer 2

die Menge \( B \) lässt sich einfach umschreiben:

\( B = \{ z \in \mathbb{Z} : \exists m \in \mathbb{Z} : z = 9(m-1) + 5 \} \)

\(= \{ z \in \mathbb{Z} : \exists m' = m-1 \in \mathbb{Z} : z = 9m' + 5 \} = A \).

Umgekehrt kann man auch \( A \) als \( B \) darstellen.

MfG

Mister

Comments

Wie könnte man es sich erklären?

Ich würde es jetzt bei den nächsten Aufgaben wieder nicht verstehen..

Gibt es da eine Regel oder ähnliches für?

---

Was denn für eine Regel?